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第2课时　函数的最大(小)值
课时目标　1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．
1．函数的最大值、最小值
最值
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有__________．
(2)存在x0∈I，使得__________.
(3)对于任意的x∈I，都有__________．
(4)存在x0∈I，使得__________．
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
2.函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－3B．a≥－3
C．a≤5D．a≥3
2．函数y＝x＋(　　)
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，最大值2
D．无最大值，也无最小值
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)
A．f(－2)C．f(2)5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的(　　)
A．最小值是0，最大值是4
B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4
D．没有最大值也没有最小值
6．函数f(x)＝的最大值是(　　)
A.B.
C.D.
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．函数y＝的值域是________．
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)A．有最大值3，最小值－1
B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7－2，无最小值
D．无最大值，也无最小值
13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
1．函数的最大(小)值
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．
(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
拓展　对于函数y＝f(x)的最值，可简记如下：
最大值：ymax或f(x)max；最小值：ymin或f(x)min.
2．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有
最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
3．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
第2课时　函数的最大(小)值
知识梳理
1．(1)f(x)≤M　(2)f(x0)＝M　(3)f(x)≥M　(4)f(x0)＝M
2．(1)f(b)　f(a)　(2)f(a)　f(b)
作业设计
1．A　[由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，
解得a≤－3.]
2．A　[∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，
∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值，选A.]
3．D　[由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.]
4．D　[依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝，因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增区间，
所以f(1)5．C　[y＝|x－3|－|x＋1|＝.
因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，
所以－46．D　[f(x)＝≤.]
7．(0,2]
解析　观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，
所以当x＝0时，y的最大值为2，即0故函数y的值域为(0,2]．
8．－2　0
解析　y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
得b＝0(b＝6不合题意，舍去)
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
9．2
解析　函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，
故ymax＝－＝2.
10．解　(1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
11．解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
12．C　[画图得到F(x)的图象：
射线AC、抛物线及射线BD三段，
联立方程组
得xA＝2－，
代入得F(x)的最大值为7－2，
由图可得F(x)无最小值，从而选C.]
13．解　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝.
作图(如右所示)．
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，
f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝f()＝2a－－1，
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝