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章末综合测评(二)　推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)
A．28　 B．32
C．33 D．27
【解析】　观察知数列{an}满足：a1＝2，an＋1－an＝3n，故x＝20＋3×4＝32.
【答案】　B
2．(2016·汕头高二检测)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点．以上推理中(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
【解析】　大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，故选A.
【答案】　A
3．下列推理过程是类比推理的是(　　)
A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为
B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C．通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
【解析】　A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理．
【答案】　B
4．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③由f(x)＝sin x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
【解析】　合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．
【答案】　C
5．设a＝21.5＋22.5，b＝7，则a，b的大小关系是(　　)
A．a>b B．a＝b
C．a2(b＋1)
【解析】　因为a＝21.5＋22.5>2＝8>7，故a>b.
【答案】　A
6．将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④|a·b|＝|a||b|；⑤由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【解析】　①③正确；②④⑤错误．
【答案】　A
7．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因为x>0，所以ex>1,0<<1.所以ex－>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是(　　)
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．以上都不是
【解析】　从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法．
【答案】　A
8．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是(　　)
【导学号：19220032】
A．a>b B．aC．a＝b D．a，b大小不定
【解析】　要比较a与b的大小，由于c>1，所以a>0，b>0，故只需比较与的大小即可，
而＝＝＋，
＝＝＋，
显然>，从而必有a【答案】　B
9．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论(　　)
A．f(2n)> B．f(n2)≥
C．f(2n)≥ D．以上都不对
【解析】　f(2)＝，f(4)＝f(22)>，f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，f(32)＝f(25)>.
由此可推知f(2n)≥.故选C.
【答案】　C
10．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是(　　)
图1
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
【解析】　根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆．由此可知选B.
【答案】　B
11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76
C．123 D．199
【解析】　从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
【答案】　C
12．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是(　　)
A．b4＋b8>b5＋b7 B．b4＋b8C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b7【解析】　在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，
所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)
＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)
＝b1q3(q3－1)(q－1)．
因为q>1，bn>0，所以b4＋b8>b5＋b7.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．
【解析】　“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)．
【答案】　x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)
14．如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
图2
【解析】　设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.
【答案】　n2＋n
15．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
【解析】　因为(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab
＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，
所以(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
所以lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
【答案】　≤
16．(2016·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_______________________________________________．
【导学号：19220033】
【解析】　根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VO­BCD·＋VO­ACD·＋VO­ABD·＋VO­ABC·＝0.
【答案】　VO­BCD·＋VO­ACD·＋VO­ABD·＋VO­ABC·＝0
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知a，b，c成等差数列，求证：ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差数列．
【证明】　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以(ab＋ac)＋(ac＋bc)＝b(a＋c)＋2ac＝2(b2＋ac)．
所以ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差数列．
18．(本小题满分12分)在平面几何中，对于Rt△ABC，∠C＝90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
(1)a2＋b2＝c2；
(2)cos2A＋cos2B＝1；
(3)Rt△ABC的外接圆半径r＝.
把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明．
【解】　在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．
(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则S＋S＋S＝S2.
(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球半径R＝.
19．(本小题满分12分)已知△ABC的三条边分别为a，b，c，且a>b，求证：<.
【证明】　依题意a>0，b>0，
所以1＋>0,1＋a＋b>0.
所以要证<，
只需证(1＋a＋b)<(1＋)(a＋b)，
只需证因为a>b，所以<2所以<.
20．(本小题满分12分)(2016·大同高二检测)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．
【解】　数列{an}中，a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，…，
所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N*)．
此猜想正确．
证明如下：
因为a1＝1，an＋1＝，
所以＝＝＋，
即－＝，
所以数列是以＝1为首项，
公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)＝＋，
即通项公式an＝(n∈N*)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2，x∈R.
(1)若正数m，n满足m·n>1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零；
(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)＝f(b)，求证：a＋b<.
【证明】　(1)假设f(m)<0，f(n)<0，
即m3－m2<0，n3－n2<0，
∵m>0，n>0，
∴m－1<0，n－1<0，
∴0∴mn<1，这与m·n>1矛盾，
∴假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零．
(2)证明：由f(a)＝f(b)，得a3－a2＝b3－b2，
∴a3－b3＝a2－b2，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)(a＋b)，
∵a≠b，
∴a2＋ab＋b2＝a＋b，
∴(a＋b)2－(a＋b)＝ab<2，
∴(a＋b)2－(a＋b)<0，
解得a＋b<.
22．(本小题满分12分)设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0，且a≠1)．
(1)5＝2＋3，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
【解】　(1)f(3)g(2)＋g(3)f(2)
＝·＋·＝，
又g(5)＝，
∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由(1)知g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明：∵f(x)＝，
g(x)＝，
g(x＋y)＝，
g(y)＝，f(y)＝，
∴f(x)g(y)＋g(x)f(y)
＝·＋·
＝＝g(x＋y)．