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  • 资源类别:高一试卷
  • 所属教版:高一下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
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  • 整理时间:2021-11-01
  • 章末综合测评(二) 推理与证明
    (时间120分钟,满分150分)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于(  )
    A.28  B.32
    C.33 D.27
    【解析】 观察知数列{an}满足:a1=2,an+1-an=3n,故x=20+3×4=32.
    【答案】 B
    2.(2016·汕头高二检测)有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),若f(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0,所以x=0是f(x)=x3的极值点.以上推理中(  )
    A.大前提错误 B.小前提错误
    C.推理形式错误 D.结论正确
    【解析】 大前提是错误的,若f′(x0)=0,x=x0不一定是函数f(x)的极值点,故选A.
    【答案】 A
    3.下列推理过程是类比推理的是(  )
    A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为
    B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
    C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性
    D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
    【解析】 A为归纳推理,C,D均为演绎推理,B为类比推理.
    【答案】 B
    4.下面几种推理是合情推理的是(  )
    ①由圆的性质类比出球的有关性质;
    ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°;
    ③由f(x)=sin x,满足f(-x)=-f(x),x∈R,推出f(x)=sin x是奇函数;
    ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°.
    A.①② B.①③④
    C.①②④ D.②④
    【解析】 合情推理分为类比推理和归纳推理,①是类比推理,②④是归纳推理,③是演绎推理.
    【答案】 C
    5.设a=21.5+22.5,b=7,则a,b的大小关系是(  )
    A.a>b B.a=b
    C.a2(b+1)
    【解析】 因为a=21.5+22.5>2=8>7,故a>b.
    【答案】 A
    6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比,易得到下列结论:①a·b=b·a;②(a·b)·c=a·(b·c);③a·(b+c)=a·b+a·c;④|a·b|=|a||b|;⑤由a·b=a·c(a≠0),可得b=c.以上通过类比得到的结论中,正确的个数是(  )
    A.2个 B.3个
    C.4个 D.5个
    【解析】 ①③正确;②④⑤错误.
    【答案】 A
    7.证明命题:“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函数”.现给出的证法如下:因为f(x)=ex+,所以f′(x)=ex-.因为x>0,所以ex>1,0<<1.所以ex->0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,使用的证明方法是(  )
    A.综合法 B.分析法
    C.反证法 D.以上都不是
    【解析】 从已知条件出发利用已知的定理证得结论,是综合法.
    【答案】 A
    8.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是(  )
    【导学号:19220032】
    A.a>b B.aC.a=b D.a,b大小不定
    【解析】 要比较a与b的大小,由于c>1,所以a>0,b>0,故只需比较与的大小即可,
    而==+,
    ==+,
    显然>,从而必有a【答案】 B
    9.设n为正整数,f(n)=1+++…+,经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出一般结论(  )
    A.f(2n)> B.f(n2)≥
    C.f(2n)≥ D.以上都不对
    【解析】 f(2)=,f(4)=f(22)>,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,f(32)=f(25)>.
    由此可推知f(2n)≥.故选C.
    【答案】 C
    10.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4),则图中a,b对应的运算是(  )
    图1
    A.B*D,A*D B.B*D,A*C
    C.B*C,A*D D.C*D,A*D
    【解析】 根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线,B对应矩形,C对应竖线,D对应椭圆.由此可知选B.
    【答案】 B
    11.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )
    A.28 B.76
    C.123 D.199
    【解析】 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a10+b10=123.
    【答案】 C
    12.在等差数列{an}中,若an>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是(  )
    A.b4+b8>b5+b7 B.b4+b8C.b4+b7>b5+b8 D.b4+b7【解析】 在等差数列{an}中,由于4+6=3+7时,有a4·a6>a3·a7,所以在等比数列{bn}中,由于4+8=5+7,所以应有b4+b8>b5+b7或b4+b8因为b4=b1q3,b5=b1q4,b7=b1q6,b8=b1q7,
    所以(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)
    =b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)
    =b1q3(q3-1)(q-1).
    因为q>1,bn>0,所以b4+b8>b5+b7.
    【答案】 A
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.)
    13.已知x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时假设应为________.
    【解析】 “至少有一个”的否定为“一个也没有”,故假设应为“x,y均不大于1”(或x≤1且y≤1).
    【答案】 x,y均不大于1(或x≤1且y≤1)
    14.如图2,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2(n>2)个图形中共有________个顶点.
    图2
    【解析】 设第n个图形中有an个顶点,
    则a1=3+3×3,a2=4+4×4,…,
    an=(n+2)+(n+2)·(n+2),an-2=n2+n.
    【答案】 n2+n
    15.设a>0,b>0,则下面两式的大小关系为lg(1+)________[lg(1+a)+lg(1+b)].
    【解析】 因为(1+)2-(1+a)(1+b)=1+2+ab-1-a-b-ab
    =2-(a+b)=-(-)2≤0,
    所以(1+)2≤(1+a)(1+b),
    所以lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)].
    【答案】 ≤
    16.(2016·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点,则||·+||·=0”将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0,将它类比到空间的情形应为:若O是四面体ABCD内一点,则有_______________________________________________.
    【导学号:19220033】
    【解析】 根据类比的特点和规律,所得结论形式上一致,又线段类比平面,平面类比到空间,又线段长类比为三角形面积,再类比成四面体的体积,故可以类比为VO­BCD·+VO­ACD·+VO­ABD·+VO­ABC·=0.
    【答案】 VO­BCD·+VO­ACD·+VO­ABD·+VO­ABC·=0
    三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
    17.(本小题满分10分)已知a,b,c成等差数列,求证:ab+ac,b2+ac,ac+bc也成等差数列.
    【证明】 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以(ab+ac)+(ac+bc)=b(a+c)+2ac=2(b2+ac).
    所以ab+ac,b2+ac,ac+bc也成等差数列.
    18.(本小题满分12分)在平面几何中,对于Rt△ABC,∠C=90°,设AB=c,AC=b,BC=a,则
    (1)a2+b2=c2;
    (2)cos2A+cos2B=1;
    (3)Rt△ABC的外接圆半径r=.
    把上面的结论类比到空间写出类似的结论,无需证明.
    【解】 在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
    (1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,底面积为S,则S+S+S=S2.
    (2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
    (3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这个四面体的外接球半径R=.
    19.(本小题满分12分)已知△ABC的三条边分别为a,b,c,且a>b,求证:<.
    【证明】 依题意a>0,b>0,
    所以1+>0,1+a+b>0.
    所以要证<,
    只需证(1+a+b)<(1+)(a+b),
    只需证因为a>b,所以<2所以<.
    20.(本小题满分12分)(2016·大同高二检测)在数列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N*,求a2,a3,a4,并猜想数列的通项公式,并给出证明.
    【解】 数列{an}中,a1=1,a2==,a3===,a4==,…,
    所以猜想{an}的通项公式an=(n∈N*).
    此猜想正确.
    证明如下:
    因为a1=1,an+1=,
    所以==+,
    即-=,
    所以数列是以=1为首项,
    公差为的等差数列,
    所以=1+(n-1)=+,
    即通项公式an=(n∈N*).
    21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-x2,x∈R.
    (1)若正数m,n满足m·n>1,证明:f(m),f(n)至少有一个不小于零;
    (2)若a,b为不相等的正实数且满足f(a)=f(b),求证:a+b<.
    【证明】 (1)假设f(m)<0,f(n)<0,
    即m3-m2<0,n3-n2<0,
    ∵m>0,n>0,
    ∴m-1<0,n-1<0,
    ∴0∴mn<1,这与m·n>1矛盾,
    ∴假设不成立,即f(m),f(n)至少有一个不小于零.
    (2)证明:由f(a)=f(b),得a3-a2=b3-b2,
    ∴a3-b3=a2-b2,
    ∴(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b),
    ∵a≠b,
    ∴a2+ab+b2=a+b,
    ∴(a+b)2-(a+b)=ab<2,
    ∴(a+b)2-(a+b)<0,
    解得a+b<.
    22.(本小题满分12分)设f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).
    (1)5=2+3,请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;
    (2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.
    【解】 (1)f(3)g(2)+g(3)f(2)
    =·+·=,
    又g(5)=,
    ∴g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).
    (2)由(1)知g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),
    即g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2),
    于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).
    证明:∵f(x)=,
    g(x)=,
    g(x+y)=,
    g(y)=,f(y)=,
    ∴f(x)g(y)+g(x)f(y)
    =·+·
    ==g(x+y).
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