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首页 高一 高中数学选修1-1作业:2.3.2抛物线的简单几何性质(含答案)

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  • 资源类别:高一试卷
  • 所属教版:高一上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
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  • 整理时间:2021-11-01
  • 2.3.2 抛物线的简单几何性质
    课时目标 1.了解抛物线的几何图形,知道抛物线的简单几何性质,学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用.
    1.抛物线的简单几何性质
    设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)
    (1)范围:抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是__________,抛物线在y轴的______侧,当x的值增大时,|y|也________,抛物线向右上方和右下方无限延伸.
    (2)对称性:抛物线关于________对称,抛物线的对称轴叫做________________.
    (3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________.抛物线的顶点为____________.
    (4)离心率:抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的__________,用e表示,其值为______.
    (5)抛物线的焦点到其准线的距离为______,这就是p的几何意义,顶点到准线的距离为,焦点到顶点的距离为______.
    2.直线与抛物线的位置关系
    直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程
    ____________________的解的个数.当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有______个不同的公共点;当Δ=0时,直线与抛物线有______个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线________公共点.当k=0时,直线与抛物线的轴______________,此时直线与抛物线有______个公共点.
    3.抛物线的焦点弦
    设抛物线y2=2px(p>0),AB为过焦点的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则有以下结论.
    (1)以AB为直径的圆与准线相切.
    (2)|AB|=2(x0+)(焦点弦长与中点坐标的关系).
    (3)|AB|=x1+x2+p.
    (4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2=,y1y2=-p2.
    一、选择题
    1.顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线过点(-2,3),它的方程是(  )
    A.x2=-y或y2=x
    B.y2=-x或x2=y
    C.y2=-x
    D.x2=y
    2.若抛物线y2=2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列,那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(  )
    A.成等差数列
    B.既成等差数列又成等比数列
    C.成等比数列
    D.既不成等比数列也不成等差数列
    3.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(  )
    A. B.3 C. D.
    4.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(  )
    A.y2=±4x B.y2=±8x
    C.y2=4x D.y2=8x
    5.设直线l1:y=2x,直线l2经过点P(2,1),抛物线C:y2=4x,已知l1、l2与C共有三个交点,则满足条件的直线l2的条数为(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    6.过抛物线y2=ax (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若PF与FQ的长分别为p、q,则+等于(  )
    A.2a B. C.4a D.
    题 号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    答 案
    二、填空题
    7.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________.
    8.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A、B是抛物线C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的面积等于________.
    9.过抛物线x2=2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧),则=________.
    三、解答题
    10.设抛物线y=mx2 (m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.
    11.过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q所平分,求AB所在的直线方程.
    能力提升
    12.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于(  )
    A.4 B.8 C.8 D.16
    13.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.
    (1)若|AF|=4,求点A的坐标;
    (2)求线段AB的长的最小值.
    1.抛物线上一点与焦点的距离问题,可转化为该点到准线的距离.
    2.直线与抛物线的位置关系,可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定;“中点弦”问题也可使用“点差法”.
    2.3.2 抛物线的简单几何性质
    答案
    知识梳理
    1.(1)x≥0 右 增大 (2)x轴 抛物线的轴
    (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p 
    2.k2x2+2(kb-p)x+b2=0 两 一 没有
    平行或重合 一
    作业设计
    1.B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左,利用待定系数法可求得方程.]
    2.A [设三点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),
    则y=2px1,y=2px2,y=2px3,
    因为2y=y+y,所以x1+x3=2x2,
    即|P1F|-+|P3F|-=2,
    所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|.]
    3.A [
    如图所示,由抛物线的定义知,点P到准线x=-的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F的距离,则距离之和的最小值为 =.]
    4.B [y2=ax的焦点坐标为,过焦点且斜率为2的直线方程为y=2,令x=0得y=-.
    ∴××=4,∴a2=64,∴a=±8.]
    5.C [∵点P(2,1)在抛物线内部,且直线l1与抛物线C相交于A,B两点,∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意.∴满足条件的直线l2共有3条.]
    6.D [可采用特殊值法,设PQ过焦点F且垂直于x轴,则|PF|=p=xP+=+=,
    |QF|=q=,∴+=+=.]
    7.y2=4x
    解析 设抛物线方程为y2=ax.将y=x代入y2=ax,得x=0或x=a,∴=2.∴a=4.
    ∴抛物线方程为y2=4x.
    8.2
    解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
    则y=4x1,y=4x2.
    ∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
    ∵x1≠x2,∴==1.
    ∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.
    将其代入y2=4x,得A(0,0)、B(4,4).
    ∴|AB|=4.又F(1,0)到y=x的距离为,
    ∴S△ABF=××4=2.
    9.
    解析 抛物线x2=2py (p>0)的焦点为F,则直线AB的方程为y=x+,
    由消去x,得12y2-20py+3p2=0,解得y1=,y2=.
    由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,可知===.
    10.解 由y=mx2 (m≠0)可化为x2=y,
    其准线方程为y=-.
    由题意知-=-2或-=4,
    解得m=或m=-.
    则所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.
    11.解 方法一 设以Q为中点的弦AB端点坐标为
    A(x1,y1)、B(x2,y2),
    则有y=8x1, ①
    y=8x2, ②
    ∵Q(4,1)是AB的中点,
    ∴x1+x2=8,y1+y2=2. ③
    ①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2). ④
    将③代入④得y1-y2=4(x1-x2),
    即4=,∴k=4.
    ∴所求弦AB所在的直线方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.
    方法二 设弦AB所在直线方程为y=k(x-4)+1.
    由消去x,
    得ky2-8y-32k+8=0,
    此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点坐标公式,
    得y1+y2=,又y1+y2=2,∴k=4.
    ∴所求弦AB所在的直线方程为4x-y-15=0.
    12. B
     [如图所示,直线AF的方程为y=-(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,4).
    设P(x0,4),代入抛物线y2=8x,得8x0=48,∴x0=6,
    ∴|PF|=x0+2=8,选B.]
    13.解 由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0).设A(x1,y1),
    B(x2,y2).
    分别过A、B作准线的垂线,垂足为A′、B′.
    (1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+,
    从而x1=4-1=3.
    代入y2=4x,解得y1=±2.
    ∴点A的坐标为
    (3,2)或(3,-2).
    (2)当直线l的斜率存在时,
    设直线l的方程为y=k(x-1).
    与抛物线方程联立,
    消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
    因为直线与抛物线相交于A、B两点,
    则k≠0,并设其两根为x1,x2,则x1+x2=2+.
    由抛物线的定义可知,
    |AB|=x1+x2+p=4+>4.
    当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,与抛物线相交于A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,
    所以,|AB|≥4,即线段AB的长的最小值为4.
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