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第2课时　补集及综合应用
课时目标　1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．
1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．
2．补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________
符号语言
∁UA＝____________
图形语言
3.补集与全集的性质
(1)∁UU＝____；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁UA)＝____；(4)A∪(∁UA)＝____；(5)A∩(∁UA)＝____.
一、选择题
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁UA等于(　　)
A．{1,3}B．{3,7,9}
C．{3,5,9}D．{3,9}
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM等于(　　)
A．{x|－2C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}
3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁UB)等于(　　)
A．{2}B．{2,3}
C．{3}D．{1,3}
4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁UB，B＝∁UP，则A与P的关系是(　　)
A．A＝∁UPB．A＝P
C．APD．AP
5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩∁ISD．(M∩P)∪∁IS
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是(　　)
A．A∪BB．A∩B
C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.
8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁UA＝____________________，∁UB＝________________，∁BA＝____________.
9．已知全集U，AB，则∁UA与∁UB的关系是____________________．
三、解答题
10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁UA＝{5}，求实数a，b的值．
11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁UB)＝A，求∁UB.
能力提升
12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A等于(　　)
A．{1,3}B．{3,7,9}
C．{3,5,9}D．{3,9}
13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.
第2课时　补集及综合应用
知识梳理
1．全集　U　2.不属于集合A　∁UA　{x|x∈U，且x∉A}
3．(1)∅　(2)U　(3)A　(4)U　(5)∅
作业设计
1．D　[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁UA.]
2．C　[∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴∁UM＝{x|x<－2或x>2}．]
3．D　[由B＝{2,5}，知∁UB＝{1,3,4}．
A∩(∁UB)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
4．B　[由A＝∁UB，得∁UA＝B.
又∵B＝∁UP，∴∁UP＝∁UA.
即P＝A，故选B.]
5．C　[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈∁IS，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁IS，故选C.]
6．D　[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，
得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]
7．－3
解析　∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8}　{7,8}　{0,1,3,5}
解析　由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁UA＝{0,1,3,5,7,8}，∁UB＝{7,8}，∁BA＝{0,1,3,5}．
9．∁UB∁UA
解析　画Venn图，观察可知∁UB∁UA.
10．解　∵∁UA＝{5}，∴5∈U且5∉A.
又b∈A，∴b∈U，由此得
解得或经检验都符合题意．
11．解　因为B∪(∁UB)＝A，
所以B⊆A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.
①若x2＝3，则x＝±.
当x＝时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，}，此时∁UB＝{}；
当x＝－时，A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－}，此时∁UB＝{－}．
②若x2＝x，则x＝0或x＝1.
当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；
当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，
U＝A＝{1,3,0}，从而∁UB＝{3}．
综上所述，∁UB＝{}或{－}或{3}．
12．D　[借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A，所以选D.]
13.
解　如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.
根据题意有
解得x＝5，即两项都参加的有5人．