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  • 资源类别:高一试卷
  • 所属教版:高一上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:178k
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  • 整理时间:2021-10-21
  • 3.1.3 导数的几何意义
    课时目标 1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
    1.导数f′(x0)表示函数____________________,反映了
    ________________________________________.
    2.函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率,相应地,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
    3.如果把y=f(x)看做是物体的运动方程,那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度.
    当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f′(x)便是x的一个函数,称它为f(x)的________(简称________),有时记作y′,即f′(x)=y′=________________.
    一、选择题
    1.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则A处的切线斜率等于(  )
    A.2 B.4
    C.6+6Δx+2(Δx)2 D.6
    2.如果曲线y=f(x)在点(2,3)处的切线过点(-1,2),则有(  )
    A.f′(2)<0 B.f′(2)=0
    C.f′(2)>0 D.f′(2)不存在
    3.下面说法正确的是(  )
    A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线
    B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
    C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
    D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
    4.若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处的切线方程为2x+y+1=0,那么 (  )
    A.h′(a)=0 B.h′(a)<0
    C.h′(a)>0 D.h′(a)不确定
    5.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线(  )
    A.不存在 B.与x轴平行或重合
    C.与x轴垂直 D.与x轴相交但不垂直
    6.已知函数f(x)的图象如图所示,下列数值的排序正确的是 (  )
    A.0B.0C.0D.0题 号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    答 案
    二、填空题
    7.设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为________.
    8.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________.
    9.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.
    三、解答题
    10.试求过点P(1,-3)且与曲线y=x2相切的直线的斜率.
    11.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1 (a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.
    能力提升
    12.已知抛物线f(x)=ax2+bx-7通过点(1,1),且过此点的切线方程为4x-y-3=0,求a,b的值.
    13.在曲线E:y=x2上求出满足下列条件的点P的坐标.
    (1)在点P处与曲线E相切且平行于直线y=4x-5;
    (2)在点P处与曲线E相切且与x轴成135°的倾斜角.
    1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即
    k==f′(x0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
    2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f′(x0)是其导数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值,求函数在一点处的导数,一般先求出函数的导数,再计算这一点处的导数值.
    3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则切线方程为y-f(x0)=f′(x0) (x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.
    3.1.3 导数的几何意义
    答案
    知识梳理
    1.f(x)在x=x0处的瞬时变化率 函数f(x)在x=x0附近的变化情况
    3.导函数 导数
    作业设计
    1.D [∵y=2x3,
    ∴y′= =

    = [2(Δx)2+6xΔx+6x2]=6x2.
    ∴y′|x=1=6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]
    2.C [由题意知切线过(2,3),(-1,2),
    所以k=f′(2)===>0.]
    3.C [f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率.]
    4.B [2x+y+1=0,得y=-2x-1,
    由导数的几何意义知,h′(a)=-2<0.]
    5.B [曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,切线与x轴平行或重合.]
    6.B [根据导数的几何意义,在x∈[2,3]时,
    曲线上x=2处切线斜率最大,
    k==f(3)-f(2)>f′(3).]
    7.-1
    解析 由偶函数的图象和性质可知应为-1.
    8.2x-y+4=0
    解析 由题意知,Δy=3(1+Δx)2-4(1+Δx)+2-3+4-2=3Δx2+2Δx,
    ∴y′= =2.
    ∴所求直线的斜率k=2.
    则直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.
    9.2
    解析 ∵点P在切线上,∴f(5)=-5+8=3,
    又∵f′(5)=k=-1,
    ∴f(5)+f′(5)=3-1=2.
    10.解 设切点坐标为(x0,y0),则有y0=x.
    因y′===2x.
    ∴k=y′|x=x0=2x0.
    因切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
    将点(1,-3)代入,得:-3-x=2x0-2x,
    ∴x-2x0-3=0,∴x0=-1或x0=3.
    当x0=-1时,k=-2;当x0=3时,k=6.
    ∴所求直线的斜率为-2或6.
    11.解 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
    =(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(x+ax-9x0-1)
    =(3x+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,
    ∴=3x+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
    当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3x+2ax0-9.即f′(x0)=3x+2ax0-9.
    ∴f′(x0)=32-9-.
    当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.
    ∵斜率最小的切线与12x+y=6平行,
    ∴该切线斜率为-12.
    ∴-9-=-12.解得a=±3.
    又a<0,∴a=-3.
    12.解 f′(x) =
    = (a·Δx+2ax+b)=2ax+b.
    由已知可得,解得a=-4,b=12.
    13.解 f′(x) =
    = =2x,
    设P(x0,y0)为所求的点,
    (1)因为切线与直线y=4x-5平行,
    所以2x0=4,x0=2,y0=4,即P(2,4).
    (2)因为切线与x轴成135°的倾斜角,
    所以其斜率为-1,即2x0=-1,
    得x0=-,即y0=,即P.
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