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模块综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是(　　)
A．①②③　　 B．①②　　
C．②③　　 D．①③④
【解析】　曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．
【答案】　D
2．(2015·山东高考)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
【解析】　由已知得＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.
【答案】　A
3．有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为(　　)
【导学号：19220073】
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
【解析】　大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线．
【答案】　A
4．如图1所示的知识结构图为什么结构(　　)
图1
A．树形 B．环形
C．对称性 D．左右形
【解析】　由题图可知结构图为树形结构．
【答案】　A
5．(2015·陕西高考)根据右边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝(　　)
图2
A．2 B．4
C．10 D．28
【解析】　x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10.
【答案】　C
6．(2016·吉林高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是(　　)
A.＝1.23x＋4 B.＝1.23x＋5
C.＝1.23x＋0.08 D.＝0.08x＋1.23
【解析】　由题意可设回归直线方程为＝1.23x＋a，又样本点的中心(4,5)在回归直线上，
故5＝1.23×4＋a，即a＝0.08，
故回归直线的方程为＝1.23x＋0.08.
【答案】　C
7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S­ABC的体积为V，则R＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.
∴R＝.
【答案】　C
8．(2016·南昌高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an等于(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　∵a1＝1，Sn＝n2·an(n≥2)，
∴a1＋a2＝22·a2，得a2＝；
由a1＋a2＋a3＝32· a3，得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，得a4＝；….
猜想an＝.
【答案】　B
9．(2016·临沂高二检测)若关于x的一元二次实系数方程x2＋px＋q＝0有一个根为1＋i(i为虚数单位)，则p＋q的值是(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．－2
【解析】　把1＋i代入方程得(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，
即2i＋p＋pi＋q＝0，即p＋q＋(p＋2)i＝0，
∵p，q为实数，∴p＋q＝0.
【答案】　B
10．(2016·西安高二检测)满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是(　　)
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
【解析】　|z－i|＝|3－4i|＝5，
∴复数z对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆．
【答案】　C
11．(2016·大同高二检测)设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.
【答案】　C
12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规律一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第60个数是(　　)
A．103 B．105
C．107 D．109
【解析】　由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方．故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101,103,105,107,109，此时共60个数．
【答案】　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．(2015·上海高考)若复数z满足3z＋＝1＋i，其中i为虚数单位，则z＝________.
【解析】　设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，a，b∈R,3z＋＝4a＋2bi＝1＋i，a，b∈R，则a＝，b＝，故z＝＋i.
【答案】　＋i
14．(2016·郑州高二检测)某工程的工序流程图如图3所示，现已知工程总工时数为10天，则工序c所需工时为________天.
【导学号：19220074】
图3
【解析】　设工序c所需工时为x天．由题意知：
按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9(天)，
按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8(天)，
故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天．
∴1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4.
【答案】　4
15．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.
【解析】　通过类比可得R＝.
证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．
【答案】　
16．(2016·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)调查，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.
【导学号：19220075】
【解析】　因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程＝0.66x＋1.562，A城市居民人均消费水平为y＝7.765，所以可以估计该城市的职工人均工资水平x满足7.765＝0.66x＋1.562，所以x≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.
【答案】　83%
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.
【解】　∵z＝1＋i，
∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
又∵(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i，
∵a，b都是整数，
∴
解得或
∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
18．(本小题满分12分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试判断晕机是否与性别有关？
(参考数据：K2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；K2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；K2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．参考公式：K2＝)
【解】　(1)2×2列联表如下：
晕机
不晕机
总计
男乘客
28
28
56
女乘客
28
56
84
总计
56
84
140
(2)根据列联表中的数据，
得K2的观测值k＝＝≈3.889>3.841，所以有95%的把握认为晕机与性别有关．
19．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．
【解】　某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：
20．(本小题满分12分)(2016·中山高二检测)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
【证明】　法一(分析法)：要证＋＋>3，
只需证明＋－1＋＋－1＋＋－1>3，
即证＋＋＋＋＋>6，
而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，
∴＋>2，＋>2，＋>2.
∴＋＋＋＋＋>6，
∴＋＋>3得证．
法二(综合法)：∵a，b，c全不相等，
∴与，与，与全不相等，
∴＋>2，＋>2，＋>2，
三式相加得＋＋＋＋＋>6，
∴＋＋>3，
即＋＋>3.
21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：
广告支出x(单位：万元)
1
2
3
4
销售收入y(单位：万元)
12
28
42
56
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
【导学号：19220076】
【解】　(1)散点图如图：
(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算，.
i
xi
yi
x
xiyi
1
1
12
1
12
2
2
28
4
56
3
3
42
9
126
4
4
56
16
224
于是＝，＝，
代入公式得：
＝
＝＝，
＝－＝－×＝－2.
故y与x的线性回归方程为＝x－2，其中回归系数为，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加万元．
(3)当x＝9万元时，y＝×9－2＝129.4(万元)．
所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．
22．(本小题满分12分)(2016·吉林临江高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图4
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式；
(3)根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
【解】　(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
(3)∵f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2，
f(4)－f(3)＝4×3，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)，
∴以上各式相加得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.