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章末综合测评(三)　直线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·吉林高一检测)在直角坐标系中，直线x－y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】　直线的斜率k＝，倾斜角为60°.
【答案】　B
2．(2015·许昌高一检测)若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
【解析】　由＝，得m＝.
【答案】　A
3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)
【解析】　当a>0时，A，B，C，D均不成立；当a<0时，只有C成立．
【答案】　C
4．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　)
【导学号：09960125】
A. B.
C. D.
【解析】　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
由平行线间的距离公式可得d＝＝.
【答案】　C
5．(2015·大连高一检测)直线l1：(3－a)x＋(2a－1)y＋7＝0与直线l2：(2a＋1)x＋(a＋5)y－6＝0互相垂直，则a的值是(　　)
A．－ B.
C. D.
【解析】　因为l1⊥l2，所以(3－a)(2a＋1)＋(2a－1)(a＋5)＝0，解得a＝.
【答案】　B
6．直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点(　　)
A．(0,0) B．(0,1)
C．(3,1) D．(2,1)
【解析】　由kx－y＋1－3k＝0，得k(x－3)－(y－1)＝0，
∴x＝3，y＝1，即过定点(3,1)．
【答案】　C
7．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y－6＝0 D．x－y＋1＝0
【解析】　kAB＝＝－1，故直线l的斜率为1，
AB的中点为，
故l的方程为y－＝x－，
即x－y＋1＝0.
【答案】　D
8．已知直线l过点(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为(　　)
A．x＋2y－5＝0
B．x＋2y＋5＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0
D．2x－y＝0或x－2y＋3＝0
【解析】　当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y＝kx，把点(1,2)代入方程，得2＝k，即k＝2，所以直线的方程为2x－y＝0；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为＋＝1，把点(1,2)代入方程，得＋＝1，即b＝，所以直线的方程为x＋2y－5＝0.故选C.
【答案】　C
9．直线y＝x＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在第一象限，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0,1) D.
【解析】　由方程组
解得
所以直线y＝x＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点坐标为.
要使交点在第一象限，则
解得－所以k的取值范围是.
【答案】　A
10．经过点(2,1)的直线l到A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等，则直线l的方程为(　　)
A．2x－y－3＝0
B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2
D．以上都不对
【解析】　满足条件的直线l有两种情况：①过线段AB的中点；②与直线AB平行．
由A(1,1)，B(3,5)可知线段AB的中点坐标为(2,3)，
所以直线x＝2满足条件．由题意知kAB＝＝2.
所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，
综上可知，直线l的方程为x＝2或2x－y－3＝0，故选C.
【答案】　C
11．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是(　　)
A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)
C．(4,6) D．(0,2)
【解析】　设B点坐标为(x，y)，
根据题意知
∴
解之，得或
【答案】　A
12．直线l过点P(1,3)，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(　　)
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
【解析】　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意有∴
∴＋＝1.
化为一般式为3x＋y－6＝0.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，且l在y轴上的截距为6，则a＝________.
【解析】　令x＝0，得y＝(a－1)×2＋a＝6，∴a＝.
【答案】　
14．已知点(m,3)到直线x＋y－4＝0的距离等于，则m的值为________.
【导学号：09960126】
【解析】　由点到直线的距离得＝.
解得m＝－1，或m＝3.
【答案】　－1或3
15．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．
【解析】　由方程组得交点A(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.
【答案】　2x＋3y－2＝0
16．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则线段AB的长为________．
【解析】　直线2x－y＝0的斜率为2，
x＋ay＝0的斜率为－.
因为两直线垂直，
所以－＝－，所以a＝2.
所以直线方程为x＋2y＝0，线段AB的中点P(0,5)．
设坐标原点为O，则|OP|＝5，
在直角三角形中斜边的长度|AB|＝2|OP|＝2×5＝10，
所以线段AB的长为10.
【答案】　10
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
【解】　当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.
当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，
∴l1与l2相交．
当m≠0且m≠2时，由＝，得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3.
故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．
(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.
(3)当m＝3时，l1与l2重合．
18．(本小题满分12分)若一束光线沿着直线x－2y＋5＝0射到x轴上一点，经x轴反射后其反射线所在直线为l，求l的方程．
【解】　直线x－2y＋5＝0与x轴交点为P(－5,0)，反射光线经过点P.又入射角等于反射角，可知两直线倾斜角互补．
∵k1＝，∴所求直线斜率k2＝－，
故所求方程为y－0＝－(x＋5)，
即x＋2y＋5＝0.
19．(本小题满分12分)(2016·连云港高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0，k∈R.
(1)若直线l在x轴、y轴上的截距之和为1，求坐标原点O到直线l的距离；
(2)若直线l与直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0分别相交于A，B两点，点P(0,2)到A、B两点的距离相等，求k的值．
【解】　(1)令x＝0时，纵截距y0＝2；
令y＝0时，横截距x0＝k－3；
则有k－3＋2＝1⇒k＝2，
所以直线方程为2x－y＋2＝0，
所以原点O到直线l的距离d＝＝.
(2)由于点P(0,2)在直线l上，点P到A、B的距离相等，
所以点P为线段AB的中点．
设直线l与2x－y－2＝0的交点为A(x，y)，
则直线l与x＋y＋3＝0的交点B(－x,4－y)，由方程组
解得即A(3,4)，
又点A在直线l上，所以有2×3＋(k－3)×4－2×k＋6＝0，即k＝0.
20．(本小题满分12分)如图1所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．求：
图1
(1)AD边所在直线的方程；
(2)DC边所在直线的方程．
【导学号：09960127】
【解】　(1)由题意知ABCD为矩形，则AB⊥AD，
又AB边所在直线方程为x－3y－6＝0，
∴AD边所在的直线的斜率kAD＝－3，
而点T(－1,1)在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0.
(2)∵M为矩形ABCD两条对角线的交点，
∴点M到直线AB和直线DC的距离相等．
又DC∥AB，∴可令DC的直线方程为
x－3y＋m＝0(m≠－6)．
而M到直线AB的距离d＝＝.
∴M到直线DC的距离为，
即＝⇒m＝2或－6，
又m≠－6，∴m＝2，
∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.
21．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上高线CE所在直线的方程为x－3y－1＝0，BC边上中线AD所在的直线方程为8x＋9y－3＝0.
(1)求点A的坐标；
(2)求直线AC的方程．
【解】　(1)设点A(x，y)，
则
解得
故点A的坐标为(－3,3)．
(2)设点C(m，n)，
则
解得m＝4，n＝1，故C(4,1)，
又因为A(－3,3)，
所以直线AC的方程为＝，
即2x＋7y－15＝0.
22．(本小题满分12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能，求出P点坐标；若不能，说明理由．
【解】　(1)l2即2x－y－＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝，
∴＝，∴＝，
∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，
则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，
且＝·，即C＝或C＝，
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝·，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得应舍去．
由解得
∴P即为同时满足三个条件的点．