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课时提升作业(二)
集合的表示
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·绵阳高一检测)集合{x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示应是　(　　)
A.{1,2,3}　　　　　　 B.{0,1,2,3}
C.{-2,-1,0,1,2}　　　 D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}
【解析】选B.{x|-3≤x≤3,x∈N}表示-3到3的所有自然数,即0,1,2,3.
【补偿训练】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为　(　　)
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　 D.4个
【解析】选C.集合A为列举法,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中集合B省略了代表元素和竖线.
2.(2015·北京高一检测)方程组的解集是　(　　)
A.{x=1,y=1}　 B.{1}
C.{(1,1)}　　 D.{(x,y)|(1,1)}
【解析】选C.方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D中描述形式不对,排除D,故选C.
3.下列集合中恰有2个元素的集合是　(　　)
A.{x2-x=0} B.{y|y2-y=0}
C.{x|y=x2-x} D.{y|y=x2-x}
【解析】选B.显然A中只有一个元素,B中有两个元素分别是0和1,C选项中指的是满足y=x2-x中x的取值的集合,有无数个,D中指的是满足y=x2-x中y的取值的集合,也有无数个.
4.(2015·南昌高一检测)若1∈{x,x2},则x=　(　　)
A.1 B.-1
C.0或1 D.0或1或-1
【解析】选B.因为1∈{x,x2},所以x=1或x2=1,当x=1时,x2=1与集合中元素具有互异性矛盾,故应舍去;当x2=1时,x=-1或x=1(舍去),故x=-1.
5.下列集合表示同一集合的是　(　　)
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
C.M={4,5},N={5,4}
D.M={1,2},N={(1,2)}
【解析】选C.A中M是点集,N是点集,但两个点是两个不同的点;B中M是点集,N是数集;D中M是数集,N是点集,故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知集合A={x|x2=a,x∈R},则实数a的取值范围是　　　　　.
【解析】因为x∈R,所以x2=a≥0,即a≥0,所以a的取值范围是a≥0.
答案:a≥0
7.(2015·汉中高一检测)若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为　　　　.
【解析】x=1时,y=0;x=2时,y=1;x=3时,y=2;x=4时,y=3,故集合B可用列举法表示为{0,1,2,3}.
答案:{0,1,2,3}
8.设A={4,a},B={2,ab},若A与B相等,则a+b=　　　　.
【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.所以a+b=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·重庆高一检测)用适当的方法描述下列集合,并指出所含元素的个数.
(1)大于0且小于10的奇数构成的集合.
(2)不等式x-3≥1的解集.
(3)抛物线y=x2上的点构成的集合.
【解题指南】解答本题的关键是先看元素的个数是有限还是无限,然后确定使用哪种方法.
【解析】(1)用列举法表示为{1,3,5,7,9}.集合中有5个元素.
(2)用描述法表示为{x|x≥4}.集合中有无数个元素.
(3)用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.抛物线上的点有无数个,即该集合中的元素个数有无数个.
【补偿训练】用适当的方法表示下列集合:
(1)所有被3整除的整数.
(2)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.
【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.
(2)B={x|x=|x|,x∈Z}.
10.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
【解析】当a=0时,A=;
当a≠0时,关于x的方程ax2-3x-4=0应有两个相等的实数根或无实数根,
所以Δ=9+16a≤0,即a≤-.
故所求的a的取值范围是a≤-或a=0.
【延伸探究】本题中将条件“至多有一个元素”改为“有两个元素”,其他不变,则a的取值是什么?
【解析】因为A中有两个元素,所以关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根,
所以即a>-且a≠0.
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是　(　　)
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}
C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}
D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}
【解析】选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B中k可取负数,多了若干元素;C中t=0时多了-3这个元素,只有D是正确的.
2.(2015·德州高一检测)用描述法表示下图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是　(　　)
A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}
B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}
C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}
D.{(x,y)|-2≤x≤0或-2≤y≤0}
【解析】选B.由图可知,阴影部分的点的横坐标满足-2≤x≤0,纵坐标满足-2≤y≤0,所以所表示的集合为{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和为3,则实数a的值为　　　　.
【解析】解x-a=0得x=a,设x1,x2为方程x2-ax+a-1=0的两根,则x1+x2=a,
由题意a+a=3,a=.
答案:
4.(2015·南通高一检测)A={1,2,3},B={1,2},定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则集合A+B中元素的最大值是　　　　.
【解析】①当x1=1时,若x2=1,则x1+x2=2;若x2=2,则x1+x2=3;
②当x1=2时,若x2=1,则x1+x2=3;若x2=2,则x1+x2=4;
③当x1=3时,若x1=1,则x1+x2=4;若x2=2,则x1+x2=5.
综上可知,A+B={2,3,4,5},所以A+B中元素的最大值是5.
答案:5
【补偿训练】已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3}.定义P⊖Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P⊖Q的所有元素之和为　　　　.
【解析】当p=4,q=1,2,3时,p-q=3,2,1;
当p=5,q=1,2,3时,p-q=4,3,2;
当p=6,q=1,2,3时,p-q=5,4,3.
所以P⊖Q={1,2,3,4,5},其所有元素之和为1+2+3+4+5=15.
答案:15
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.设集合B=.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系.
(2)用列举法表示集合B.
【解析】(1)当x=1时,=2∈N;
当x=2时,=∉N,所以1∈B,2∉B.
(2)因为∈N,所以0<2+x≤6,且2+x∈N*,
当x=0时,=3∈N;当x=1时,=2∈N;
当x=2时,=∉N;当x=3时,=∉N;
当x=4时,=1∈N.所以集合B={0,1,4}.
6.(2014·福建高考改编)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:
①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).
【解析】若只有①对,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合元素互异性矛盾,不符合题意;
若只有②对,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);
若只有③对,则有序数组为(3,1,2,4);
若只有④对,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).
【补偿训练】(2014·福建高考改编)已知集合=,且下列三个关系:①a≠2,②b=2,③c≠0有且只有一个正确,求100a+10b+c的值.
【解析】若a≠2正确,则b=2不正确,即b≠2,所以c=2.但是c≠0不正确,所以c=0,矛盾;
若b=2正确,则a≠2不正确,所以a=2,与集合元素互异性矛盾,不符合题意;
若c≠0正确,则a≠2不正确,故a=2.又c≠0,所以c=1.故b=0.符合题意.所以a=2,b=0,c=1.
所以100a+10b+c=201.
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