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章末综合测评(一)　常用逻辑用语
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是(　　)
A．全称命题　　　　　　 B．特称命题
C．p∨q形式 D．p∧q形式
【解析】　此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．
【答案】　A
2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.
【答案】　C
3．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x
【解析】　全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．
【答案】　D
4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是(　　)
A．若2x＋1是整数，则x∈Z
B．若2x＋1是奇数，则x∈Z
C．若2x＋1是偶数，则x∈Z
D．若2x＋1能被3整除，则x∈Z
【解析】　易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.
【答案】　A
5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧¬q B．¬p∧q
C．¬p∧¬q D．p∧q
【解析】　命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题，故选A.
【答案】　A
6．(2015·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(　　)
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
【解析】　命题是省略量词的全称命题．易知选D.
【答案】　D
7．原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】　从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.
【答案】　A
8．给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　q⇒¬p等价于p⇒¬q，¬pDq等价于¬qDp.故p是¬q的充分而不必要条件．
【答案】　A
9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a＜0 B．a＞0
C．a＜－1 D．a＞1
【解析】　一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根⇔＜0，解得a＜0，故a＜－1是它的一个充分不必要条件．
【答案】　C
10．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　)
【导学号：26160027】
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
【解析】　∵P(2,3)∈A∩(∁UB)，
∴满足故
【答案】　A
11．下列命题中为真命题的是(　　)
A．∃x0∈R，ex0≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
【解析】　对于∀x∈R，都有ex>0，故选项A是假命题；当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；当＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，无意义，故选项C是假命题；当a>1，b>1时，必有ab>1，但当ab>1时，未必有a>1，b>1，如当a＝－1，b＝－2时，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分条件，选项D是真命题．
【答案】　D
12．下列命题中真命题的个数为(　　)
①命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题；
②设α，β∈，则“α<β ”是“tan α③命题“自然数是整数”是真命题；
④命题“∀x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∃x0∈R，x＋x0＋1<0.”
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　①命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x∈ 时，正切函数y＝tan x是增函数，所以当α，β∈时，α<β⇔tan α【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则¬p是¬q的________条件．
【解析】　¬p：≤x≤2.
¬q：－1≤x≤2.¬p⇒¬q，但¬qD¬p.
∴¬p是¬q的充分不必要条件．
【答案】　充分不必要
14．若命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】　若对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－160，则Δ＝4a2－4<0，即－10且x2－2ax＋1>0”是真命题时，有a∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，故a∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
【答案】　(－∞，－1]∪[0，＋∞)
15．给出下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．
其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．
【解析】　②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．
【答案】　①③
16．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】　p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，
∵¬p是¬q的充分条件(即¬p⇒¬q)，∴q⇒p，
∴∴－1≤a≤6.
【答案】　[－1,6]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：
(1)36是6与18的倍数；
(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；
(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．
【解】　(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．
(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.
(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．
18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)全等三角形一定相似；
(2)末位数字是零的自然数能被5整除．
【解】　(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；
否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．
(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；
否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；
逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．
19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；
(4)有些质数不是奇数．
【解】　(1)所有自然数的平方是正数，假命题；
否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；
否定：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．
(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；
否定：∃x0∈R，x－3x0＋3≤0，假命题．
(4)有些质数不是奇数，真命题；
否定：所有的质数都是奇数，假命题．
20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p：“∃x0∈R，x－ax0＋1＝0”，q：“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．
【解】　由x－ax0＋1＝0有实根，
得Δ＝a2－4≥0⇒a≥2或a≤－2.
因为命题p为真命题的范围是a≥2或a≤－2.
由函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a≥0.
因此命题q为真命题的范围是a≥0.
根据p∨q为假命题知：p，q均是假命题，p为假命题对应的范围是－2这样得到二者均为假命题的范围就是⇒－221．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解】　(1)由x2－4ax＋3a2<0，
得(x－3a)·(x－a)<0，
又a>0，所以a当a＝1时，1实数x的取值范围是1由x2－5x＋6≤0得2≤x≤3，
所以q为真时，实数x的取值范围是2≤x≤3.
若p∧q为真，则2≤x<3，所以实数x的取值范围是[2,3)．
(2)设A＝{x|aB＝{x|2≤x≤3}，
由题意可知q是p的充分不必要条件，则BA，
所以⇒122．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x，对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，试求实数a的取值范围. 【导学号：26160028】
【解】　由f(x)＝ax2＋x是二次函数，知a≠0.
|f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]，①
当x＝0，a≠0时，①式显然成立；
当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－，
当x∈(0,1]时恒成立．
设t＝，则t∈[1，＋∞)，所以－t2－t≤a≤t2－t.
令f(t)＝－t2－t＝－2＋，t∈[1，＋∞)，
所以f(t)max＝－2.
令g(t)＝t2－t＝2－，t∈[1，＋∞)，
所以g(t)min＝0.所以只需－2≤a≤0.
综上所述，实数a的取值范围是[－2,0)．