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课时提升作业 十一
椭圆方程及性质的应用
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·聊城高二检测)过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.椭圆的方程可化为+=1,
所以F(-,0).
又因为直线AB的斜率为,
所以直线AB的方程为y=x+.
由得7x2+12x+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,
x1·x2=,
所以|AB|==.
2.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB面积的最大值为　(　　)
A.b2 B.ab C.ac D.bc
【解析】选D.由AB过椭圆中心,则yA+yB=0,
故S△AFB=(yA-yB)·c=|2yA|·c=|yA|·c≤bc,即当AB为y轴时面积最大.
3.(2016·济宁高二检测)如果椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是　(　　)
A.x-2y=0 B.x+2y-4=0
C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0
【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则
两式相减再变形得+k=0.
又弦中点为(4,2),故k=-,
故这条弦所在的直线方程为y-2=-(x-4),
整理得x+2y-8=0.
4.(2016·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kAB·kOM的值
为　(　　)
A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2
【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),
由点差法,+=1,+=1,作差得
=,
所以kAB·kOM=·=-==e2-1.
【补偿训练】椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率
为　(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.-
【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则①-②得
+=0,
又因为弦中点为M(-1,2),
所以x1+x2=-2,y1+y2=4,
所以+=0,
所以k==.
5.(2016·郑州高二检测)在区间和上分别取一个数,记为a,b,则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.因为+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆,
所以a>b>0,a<2b,
它对应的平面区域如图中阴影部分所示:
则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为
P===.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·南昌高二检测)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为　　　　.
【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).因为e=,所以=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,
所以椭圆方程为+=1.
答案:+=1
7.(2016·沈阳高二检测)椭圆+=1上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点为F,数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,则n的最大值为　　　　.
【解题指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,可求出n的最大值.
【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,
|PnF|=|P1F|+(n-1)d.
若d=,n=201,d>,n<201.
答案:200
8.(2016·长春高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为　　　　.
【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.
【解析】在△ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,
又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,
解得|AF|=6.在△ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故△ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F′,连接AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形AFBF′为矩形,
则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8,
即焦距2c=10,
又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a,
所以2a=|AF|+|AF′|=6+8=14.
故离心率e===.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-),(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时⊥?此时|AB|的值是多少.
【解析】(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b==1.故曲线C的方程为+x2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足
消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.
由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=-.
若⊥,则x1x2+y1y2=0.
因为y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
所以x1x2+y1y2=---+1=-=0,
所以k=±.
当k=±时,x1+x2=∓,x1x2=-.
所以|AB|=
=.
而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+4×=,
所以|AB|==.
10.(2016·烟台高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.
【解析】(1)设F(-c,0),由=,知a=c.
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=±,于是=,解得b=,
又a2-c2=b2,从而a=,c=1,
所以椭圆方程为+=1.
(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),
由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),
由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
所以x1+x2=-,x1x2=.
因为A(-,0),B(,0),
所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·济南高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为　(　　)
A.0 　　 B.1
C.2　 　　 D.需根据a,b的取值来确定
【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.
【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,
所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=>2,所以a2+b2<4,所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,
因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,
所以圆x2+y2=4内切于椭圆,
所以点P是椭圆内的点,
所以过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.
2.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.把y=1-x代入椭圆ax2+by2=1,
得ax2+b(1-x)2=1,
整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,y1+y2=2-,
所以线段AB的中点坐标为,
所以过原点与线段AB中点的直线的斜率k===,即=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·石家庄高二检测)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为　　　　.
【解析】右焦点为(1,0),故直线为y=2(x-1).
由消去y,得3x2-5x=0,
所以x=0或x=,
从而A(0,-2),B.
所以|AB|===.
又O到AB的距离d==,
所以S△AOB=·|AB|·d=××=.
答案:
4.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=成立,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　.
【解析】由正弦定理及=,得
==.
在△PF1F2中,设|PF2|=x,则|PF1|=2a-x.
则上式为=,即cx+ax=2a2,x=.
又a-c由a-c<,得a2>-c2,显然恒成立.
由c2+2ac-a2>0,即e2+2e-1>0,
解得e>-1+或e<-1-(舍).
又0所以e的取值范围为(-1,1).
答案:(-1,1)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·北京高二检测)已知椭圆G:+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率.
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
【解析】(1)由已知得a=2,b=1,
所以c==.
所以椭圆G的焦点坐标为(-,0),(,0),
离心率为e==.
(2)由题意知,|m|≥1.
当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为(1,),(1,-),此时|AB|=.
当m=-1时,同理可得|AB|=.
当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m).
由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
由l与圆x2+y2=1相切,得=1,
即m2k2=k2+1.
所以|AB|=
=
=
=.
当m=±1时,|AB|=,
所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪
==
=(2-m2),
所以·=·.
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