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首页 高一 高中数学选修1-2学业分层测评7 反证法 Word版含解析

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  • 资源类别:高一试卷
  • 所属教版:高一下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:17k
  • 浏览次数:771
  • 整理时间:2021-10-08
  • 学业分层测评
    (建议用时:45分钟)
    [学业达标]
    一、选择题
    1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是(  )
    A.有两个内角是钝角
    B.有三个内角是钝角
    C.至少有两个内角是钝角
    D.没有一个内角是钝角
    【解析】 “最多有一个”的反设是“至少有两个”,故选C.
    【答案】 C
    2.下列命题错误的是(  )
    A.三角形中至少有一个内角不小于60°
    B.四面体的三组对棱都是异面直线
    C.闭区间[a,b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
    D.设a,b∈Z,若a,b中至少有一个为奇数,则a+b是奇数
    【解析】 a+b为奇数⇔a,b中有一个为奇数,另一个为偶数,故D错误.
    【答案】 D
    3.“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定正确的为(  )
    【导学号:19220029】
    A.a,b,c都是奇数
    B.a,b,c都是偶数
    C.a,b,c中至少有两个偶数
    D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
    【解析】 自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:(1)3个都是奇数;(2)2个奇数,1个偶数;(3)1个奇数,2个偶数;(4)3个都是偶数.所以否定正确的是a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数.
    【答案】 D
    4.设x,y,z都是正实数,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数(  )
    A.至少有一个不大于2
    B.都小于2
    C.至少有一个不小于2
    D.都大于2
    【解析】 若a,b,c都小于2,则a+b+c<6,①
    而a+b+c=x++y++z+≥6,②
    显然①,②矛盾,所以C正确.
    【答案】 C
    5.(2016·温州高二检测)用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①A+B+C=90°+90°+C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,A=B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设三角形的三个内角A,B,C中有两个直角,不妨设A=B=90°,正确顺序的序号为(  )
    A.①②③  B.①③②
    C.②③① D.③①②
    【解析】 根据反证法的步骤,应该是先提出假设,再推出矛盾,最后否定假设,从而肯定结论.
    【答案】 D
    二、填空题
    6.(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________.
    【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”.
    【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
    7.(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容应是________.
    【解析】 与的关系有三种情况:>,=和<,所以“>”的反设应为“=或<”.
    【答案】 =或<
    8.(2016·石家庄高二检测)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2.
    其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
    【解析】 若a=,b=,则a+b=1,但a<1,b<1,故①不能推出.若a=b=1,则a+b=2,故②不能推出.
    若a=-2,b=1,则a2+b2>2,故④不能推出.
    对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.
    反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.
    【答案】 ③
    三、解答题
    9.已知x∈R,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,试证明:a,b,c至少有一个不小于1.
    【导学号:19220030】
    【证明】 假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3.
    而与a+b+c=2x2-2x++3=22+3≥3矛盾,故假设不成立,即a,b,c至少有一个不小于1.
    10.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证: , , 不成等差数列.
    【证明】 假设, , 成等差数列,则+=2,两边同时平方得a+c+2=4b.
    把b2=ac代入a+c+2=4b,可得a+c=2b,即a,b,c成等差数列,这与a,b,c不成等差数列矛盾.
    所以, , 不成等差数列.
    [能力提升]
    1.有以下结论:
    ①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
    ②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.
    下列说法中正确的是(  )
    A.①与②的假设都错误
    B.①与②的假设都正确
    C.①的假设正确;②的假设错误
    D.①的假设错误;②的假设正确
    【解析】 用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p+q>2,故①的假设是错误的,而②的假设是正确的.
    【答案】 D
    2.已知命题“在△ABC中,A≠B.求证sin A≠sin B”.若用反证法证明,得出的矛盾是(  )
    A.与已知条件矛盾
    B.与三角形内角和定理矛盾
    C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾
    D.与大边对大角定理矛盾
    【解析】 证明过程如下:假设sin A=sin B,因为0【答案】 C
    3.(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是________.
    【解析】 因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说的对,同时甲、乙中只有一人说的对,假设乙说的对,这样丙就说的错,丁就说的对,也就是甲也说的对,与甲说的错矛盾,所以乙说的错,从而知甲、丙说的对,所以丙为获奖歌手.
    【答案】 丙
    4.(2016·温州高二检测)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:数列{cn}不是等比数列.
    【证明】 假设数列{cn}是等比数列,则
    (an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).①
    因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,
    所以a=an-1an+1,b=bn-1bn+1.
    代入①并整理,得
    2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1
    =anbn,
    即2=+.②
    当p,q异号时,+<0,与②相矛盾;
    当p,q同号时,由于p≠q,
    所以+>2,与②相矛盾.
    故数列{cn}不是等比数列.
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