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课时提升作业 十五
抛物线及其标准方程
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是　 (　　)
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,0) D.(1,0)
【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.
【解析】选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).
【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是　(　　)
A.直线　　　　　　 B.抛物线
C.圆 D.双曲线
【解析】选A.因为点(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.
2.(2016·日照高二检测)抛物线y=4x2的焦点坐标是　(　　)
A.(0,1) B.(1,0)
C. D.
【解析】选C.由y=4x2得x2=y,
所以抛物线焦点在y轴正半轴上且2p=,
所以p=,所以焦点为.
【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为2p=4而出错.
3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是　(　　)
A.y=-3x2 B.y2=9x
C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x
【解析】选D.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=ay,将(1,-3)代入得a=-,所以方程为y=-3x2.
4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是　(　　)
A. B. C.1 D.
【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.
【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d==.
【补偿训练】抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是　(　　)
A.2 B.2 C. D.1
【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d==1.
5.(2016·肇庆高二检测)已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为　(　　)
A.1 B.1或4
C.1或5 D.4或5
【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4,
所以点M的坐标可设为(x,4)或(x,-4),
又因为M到准线的距离为5,
所以解得或
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　.
【解题指南】根据抛物线的定义求解.
【解析】xM+1=10⇒xM=9.
答案:9
7.(2016·烟台高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为　　　　.
【解析】由抛物线方程y2=2px(p>0),得其准线方程为x=-.又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所以圆心为(3,0),半径为4.依题意,得3-=4,解得p=2.
答案:2
8.(2016·西安高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽　　　　米.
【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.
【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2米.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
【解析】(1)双曲线方程化为-=1,
左顶点为(-3,0).
由题意设抛物线方程为
y2=-2px(p>0)且=-3,
所以p=6,
所以方程为y2=-12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
y2=2px(p≠0),A点坐标为(m,-3).
由抛物线定义得5=|AF|=|m+|.
又(-3)2=2pm,
所以p=±1或p=±9,
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1m)
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
依题意有P′(1,-1)在此抛物线上,代入得p=.
故得抛物线方程为x2=-y.
点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,
即|AB|=,则|AB|+1=+1,
因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,
即水池的直径至少应设计为5m.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·厦门高二检测)抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为　(　　)
A.1 B. C.2 D.
【解析】选D.因为点P(2,2)在抛物线上,
所以(2)2=2m,
所以m=4,P到抛物线准线的距离为2-(-1)=3,F到准线距离为2,所以M到抛物线准线的距离为d==.
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=　(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得y=±3,所以A(-2,3),B(-2,-3),故=6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=　　　　　　.
【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解.
【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.
答案:2
4.(2016·南昌高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　.
【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为p,可构造p的方程解决.
【解析】由题意知,△ABF的高为p,将y=-代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x=±,因为△ABF为等边三角形,所以=tan60°,从而解得p2=36,即p=6.
答案:6
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.
【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,如图所示,则B点的坐标为,设隧道所在抛物线方程为x2=my,则=m·,
所以m=-a,即抛物线方程为x2=-ay.
将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay,
即y=-.
欲使卡车通过隧道,应有y->3,即->3,
由于a>0,得上述不等式的解为a>12.21,所以a应取13.
6.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.
【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
则其准线为x=-.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为|AF|+|BF|=8,
所以x1++x2+=8,
即x1+x2=8-p.
因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,
所以|QA|=|QB|,
即
=,
又=2px1,=2px2,
所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,
因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2.
故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.
从而抛物线的方程为y2=8x.
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