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单元质量评估(一)
(第一章)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.集合A={0,1,2},B={x|-1A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{0,1,2}
【解析】选C.因为A={0,1,2},B={x|-12.(2015·天津高一检测)设集合M={2,0,x},集合N={0,1},若N⊆M,则x的值为
　(　　)
A.2 B.0
C.1 D.不确定
【解析】选C.因为N⊆M,所以集合N中元素均在集合M中,所以x=1.
3.在下列由M到N的对应中构成映射的是　(　　)
【解析】选C.选项A中,集合M中的数3在集合N中没有数与之对应,不满足映射的定义;选项B中,集合M中的数3在集合N中有两个数a,b与之对应;选项D中,集合M中的数a在集合N中有两个数1,3与之对应,不满足映射的定义.
4.已知函数f(x)=ax3+bx(a≠0),满足f(-3)=3,则f(3)=　(　　)
A.2 B.-2 C.-3 D.3
【解析】选C.方法一:f(-3)=a(-3)3+b(-3)=-33a-3b=-(33a+3b)=3,所以33a+3b=-3.f(3)=33a+3b=-3.
方法二:显然函数f(x)=ax3+bx为奇函数,故f(3)=-f(-3)=-3.
【补偿训练】已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,那么f(4)+f(-4)的值为　(　　)
A.5 B.10
C.8 D.不确定
【解析】选B.因为f(x)是偶函数,所以f(-4)=f(4)=5,所以f(4)+f(-4)=10.
5.已知一次函数y=kx+b为减函数,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是
　(　　)
【解析】选A.选项A图象为减函数,k<0,且在y轴上的截距为正,故b>0,满足条件,而B,C,D均不满足条件.
6.若f(x)=则f的值为　(　　)
A.- B. C. D.
【解析】选C.因为<1,所以应代入f(x)=1-x2,即f=1-=.
7.若f(g(x))=6x+3,且g(x)=2x+1,则f(x)=　(　　)
A.3 B.3x C.6x+3 D.6x+1
【解析】选B.由f(g(x))=f(2x+1)=6x+3=3(2x+1),知f(x)=3x.
8.(2015·西城区高一检测)下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是
　(　　)
【解析】选C.由函数定义知,定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应,A,B,D选项中的图象都符合;C项中对于大于零的x而言,有两个不同的值与之对应,不符合函数定义.
9.已知集合A={x|x2+x+1=0},若A∩R=∅,则实数m的取值范围是　(　　)
A.m<4 B.m>4 C.0【解析】选D.因为A∩R=∅,所以A=∅,即方程x2+x+1=0无解,所以
Δ=()2-4<0,所以m<4.又因为m≥0,所以0≤m<4.
10.(2015·赣州高一检测)函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别是
　(　　)
A.(-∞,0]和(-∞,1] B.(-∞,0]和[1,+∞)
C.[0,+∞)和(-∞,1] D.[0,+∞)和[1,+∞)
【解析】选C.函数f(x)=|x|的单调递增区间为[0,+∞),函数g(x)=x(2-x)=-(x-1)2+1的单调递增区间为(-∞,1].
11.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈N*}中的元素个数是　(　　)
A.10个 B.15个 C.16个 D.18个
【解析】选B.若a,b同奇偶,有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有2×5+1=11;
若a,b一奇一偶,有12=1×12=3×4,每种可以交换位置,这时有2×2=4,
所以共有11+4=15个.
12.(2015·西安高一检测)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则使<0的x的取值范围为　(　　)
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
【解析】选D.由f(x)为奇函数,可知=<0.而f(1)=0,则f(-1)=-f(1)=0.又f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以当00=f(-1),此时<0,即所求x的取值范围为(-1,0)∪(0,1).
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2015·开封高一检测)已知集合A={x|1≤x<2},B={x|x【解析】因为A∩B=A,所以AB,所以a≥2.
答案:a≥2
14.已知a是实数,若集合{x|ax=1}是任何集合的子集,则a的值是　　　　　　.
【解析】若集合{x|ax=1}是任何集合的子集,则它是空集,即方程ax=1无解,所以a=0.
答案:0
15.已知f(x)为偶函数,则f(x)=
【解析】当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],
f(-x)=-x+1,
又因为f(x)为偶函数,
所以f(x)=f(-x)=1-x.
答案:1-x
16.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,若a+b≤0,给出下列不等式:
①f(a)f(b)≤0;
②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);
③f(b)f(-b)≤0;
④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
其中正确的是　　　　　　.(把你认为正确的不等式的序号全写上).
【解析】若a+b≤0,则a≤-b,b≤-a,又因为f(x)为R上递减的奇函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+ f(-b),④正确;又因为f(-b)=-f(b),所以f(b)f(-b)=-f(b)f(b)≤0,③正确.其余错误.
答案:③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设全集为R,集合A={x|3≤x<6},B={x|2(1)分别求A∩B,(B)∪A.
(2)已知C={x|a【解析】(1)A∩B={x|3≤x<6}.
因为B={x|x≤2或x≥9},
所以(B)∪A={x|x≤2或3≤x<6或x≥9}.
(2)因为C⊆B,如图所示:
所以
解得2≤a≤8,
所以所求集合为{a|2≤a≤8}.
18.(12分)已知函数f(x)=.
(1)判断点(3,14)是否在f(x)的图象上.
(2)当x=4时,求f(x)的值.
(3)当f(x)=2时,求x的值.
【解析】(1)因为f(x)=,
所以f(3)==-,
所以点(3,14)不在f(x)的图象上.
(2)f(4)==-3.
(3)令=2,即x+2=2x-12,解得x=14.
19.(12分)若函数f(x)=x2+4x+a的定义域和值域均为[-2,b](b>-2),求实数a,b的值.
【解析】因为函数f(x)的对称轴方程为x=-2,
所以函数f(x)在定义域[-2,b](b>-2)上单调递增,
所以函数f(x)的最小值为f(-2)=a-4=-2,
所以a=2.
函数f(x)的最大值为f(b)=b2+4b+2=b.
所以b2+3b+2=0,解得b=-1或b=-2(舍去),
所以b=-1.
20.(12分)(2015·烟台高一检测)已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.
(1)求f(m+1)的值.
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.
【解析】(1)由f(1)=2,f(2)=-1,得a+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=5,
故f(x)=-3x+5,
f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.
(2)函数f(x)在R上单调递减,证明如下:任取x1则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=3x1-3x2=3(x1-x2),
因为x1即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减.
【拓展延伸】定义法证明函数单调性时常用变形技巧
(1)因式分解:当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.
(2)通分:当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.
(3)配方:当原函数是二次函数时,作差后可考虑配方,便于判断符号.
21.(12分)(2015·葫芦岛高一检测)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-2.
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)求证:f(x)为R上的减函数.
(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域.
【解析】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),
所以f(0)=0.
取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,
所以f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1则x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
所以f(x2)<-f(-x1),又f(x)为奇函数,
所以f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的减函数.
(3)由(2)知f(x)在R上为减函数,所以对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),
因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2×3=-6,
所以f(-3)=-f(3)=6,所以f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6].
22.(12分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f;②f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,f=-1.
(1)求f(0)的值.
(2)求证:f(x)为奇函数.
(3)解不等式f(2x-1)<1.
【解题指南】(1)结合已知等式利用赋值法求解.
(2)利用赋值法并结合奇偶性定义判断.
(3)结合(2)的结论及已知条件得f=1,再利用奇偶性和单调性脱去符号“f”,转化为一次不等式求解.
【解析】(1)令x=y=0,得2f(0)=f(0),
所以f(0)=0.
(2)令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(x)=-f(-x),
所以f(x)为奇函数.
(3)因为f=-1,f(x)为奇函数,
所以f=1,
所以不等式f(2x-1)<1等价于f(2x-1)又因为f(x)在(-1,1)上是减函数,
所以2x-1>-,-1<2x-1<1,解得所以不等式的解集为.
【误区警示】解答本题(3)时易忽视函数定义域而得出解集为的错误.
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