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课时提升作业 十七
抛物线方程及性质的应用
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有　(　　)
A.1条　　　　 B.2条　　　　 C.3条　　　　 D.4条
【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.
【延伸探究】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有　(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.
2.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长
为　(　　)
A.2 B.2 C.2 D.2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意知AB的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2.
由得x2-4x+1=0,
所以x1+x2=4,x1x2=1.
所以|AB|==
==2.
3.(2016·福州高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为　(　　)
A.-3 B.3 C.2 D.-2
【解析】选D.因为抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以=-1,所以=-1,所以y1+y2=-1.
因为y1y2=-1,所以x1+x2=+=(y1+y2)2-2y1y2=3,
所以两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为.
代入y=x+b,可得b=-2.
4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为　(　　)
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
代入抛物线方程得:
①-②得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).
又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2
所以所求抛物线的准线方程为x=-1.
5.(2016·西安高二检测)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为　(　　)
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=(x-1)或y=-(x-1)
C.y=(x-1)或y=-(x-1)
D.y=(x-1)或y=-(x-1)
【解析】选C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l的倾斜角为
60°或120°,即直线l的斜率为±.
【误区警示】本题容易将倾斜角当作45°而错选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=　　　　.
【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,解得k=1.
答案:0或1
7.(2016·广州高二检测)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是　　　　.
【解析】设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x2得4x2-4x+b=0.
令Δ=16-16b=0,解得b=1,
所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短.
由4x2-4x+1=0,解得x=,
所以y=1,所求点为.
答案:
8.(2016·长春高二检测)抛物线焦点在y轴上,截得直线y=x+1的弦长为5,则抛物线的标准方程为　　　　.
【解题指南】设出抛物线的方程利用弦长公式求解.
【解析】设抛物线方程为x2=my,
联立抛物线方程与直线y=x+1的方程并消元,
得:2x2-mx-2m=0,设直线y=x+1与抛物线的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
Δ=(-m)2-4×2×(-2m)=m2+16m>0,解得m>0或m<-16.
所以x1+x2=,x1x2=-m,
所以5=,
把x1+x2=,x1x2=-m代入解得m=4或-20,
所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y.
答案:x2=4y或x2=-20y
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,求k的值.
(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标.
【解析】(1)由得4x2+(4k-4)x+k2=0,
设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点.
当Δ=(4k-4)2-4×4k2>0,即k<时,
x1+x2=1-k,x1x2=,
所以|AB|=
=
==.
因为|AB|=3,
所以=3,解得k=-4.
(2)因为三角形的面积为9,底边长为3,
所以三角形高h==.
因为点P在x轴上,所以设P点坐标是(x0,0),
则点P到直线y=2x-4的距离就等于h,
所以h==,
解得x0=-1或5.
所以P点坐标为(-1,0)或(5,0).
10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
【解析】(1)如图所示,由
消去x得,ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-.
因为A,B在抛物线y2=-x上,
所以=-x1,=-x2,所以·=x1x2.
因为kOA·kOB=·===-1,所以OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于点N,显然k≠0.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|
=|ON|·|y1-y2|,
所以S△OAB=·1·
=.
因为S△OAB=,
所以=,解得k=±.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·武汉高二检测)抛物线y=ax2(a>0)与直线y=kx+b两个交点的横坐标分别为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,则　(　　)
A.x3=x1+x2 B.x3=+
C.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x3=x2x3+x1x2
【解析】选C.将y=kx+b代入x2=(a>0),得
ax2-kx-b=0,x1+x2=,x1x2=-,
+==-.
而直线y=kx+b与x轴交点的横坐标x3=-,
所以+=,
所以x1x2=x2x3+x1x3.
2.(2016·南宁高二检测)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=　(　　)
A. B. C. D.2
【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.
【解析】选D.由题意知,直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=4.　　①
又y1+y2=k(x1+x2)-4k,　　②
y1y2=k2.　　③
因为·=0,
所以(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0,
即x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0.　④
由①②③④得,k=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为　　　　.
【解析】由得x2-10x+9=0,
所以x1+x2=10,|y1-y2|=8,
即|AP|+|BQ|=x1+x2+p=10+2=12,
|PQ|=|y1-y2|=8,
所以S梯形APQB=·|PQ|=48.
答案:48
4.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=　　　　.
【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由消去y得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0,
所以x1+x2=,x1x2=4.
由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,
又因为|AF|=2|BF|,所以x1+2=2x2+4,
所以x1=2x2+2代入x1x2=4,得+x2-2=0,
所以x2=1或-2(舍去),所以x1=4,
所以=5,所以k2=,
因为k>0,所以k=.
则Δ=2-4·k2·4k2=16×4(1-k2)>0符合题意.
答案:
【补偿训练】在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=kx+对称,则k的取值范围为　　　　.
【解析】设M(x1,),N(x2,)关于直线y=kx+对称,
所以=-,即x1+x2=-.设MN的中点为(x0,y0),则x0=-,y0=k×+=4.
因中点在y=x2内,有4>⇒k2>,
所以k>或k<-.
答案:k>或k<-
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·蚌埠高二检测)如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.
【证明】设kAB=k(k≠0),
因为直线AB,AC的倾斜角互补,
所以kAC=-k(k≠0),
AB的方程是y=k(x-4)+2.
由方程组
消去y后,整理得
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.
因为A(4,2),B(xB,yB)的坐标是上述方程组的解,
所以4·xB=,
即xB=.
以-k代换xB中的k,得xC=,
所以kBC=
=
==
=-.
所以直线BC的斜率为定值.
【补偿训练】(2016·唐山高二检测)已知抛物线E:x2=2py(p>0),直线y=kx+2与E交于A,B两点,且·=2,其中O为原点.
(1)求抛物线E的方程.
(2)点C坐标为(0,-2),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证明:+-2k2为定值.
【解析】(1)将y=kx+2代入x2=2py,得x2-2pkx-4p=0,
其中Δ=4p2k2+16p>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2pk,x1x2=-4p.
·=x1x2+y1y2=x1x2+·=-4p+4.
由已知得,-4p+4=2,p=,
所以抛物线E的方程为x2=y.
(2)由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2.
k1====x1-x2,
同理k2=x2-x1,
所以+-2k2=2(x1-x2)2-2(x1+x2)2
=-8x1x2=16.
所以+-2k2为定值.
6.(2015·福建高考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程.
(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,
因为=3,即2+=3,
解得p=2,
所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
所以m=±2,由抛物线的对称性,
不妨设A(2,2),
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为
y=2(x-1).
由得2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=,从而B.
又G(-1,0),
所以kGA==,
kGB==-,
所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
方法二:(1)同方法一.
(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为
y=2(x-1).
由得2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=,从而B.
又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,
从而r==.
又直线GB的方程为2x+3y+2=0,
所以点F到直线GB的距离d===r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
【补偿训练】(2016·天水高二检测)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A,B两点.
(1)若p=2,求线段AF中点M的轨迹方程.
(2)若直线AB的方向向量为n=(1,2),当焦点为F时,求△OAB的面积.
(3)若N是抛物线C准线上的点,求证:直线NA,NF,NB的斜率成等差数列.
【解析】(1)设A(x0,y0),M(x,y),焦点F(1,0),
则由题意得即
所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1),
即y2=2x-1.
(2)y2=2x,F,
直线y=2=2x-1,
由
得y2-y-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|=|y1-y2|=,设点O到直线AB的距离为d,
则d=,
S△OAB=d|AB|=.
(3)显然直线NA,NB,NF的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3,
点A,B,N的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),N,
设直线AB:x=ay+,
代入抛物线得y2-2apy-p2=0,
所以y1y2=-p2,
又=2px1,=2px2,
所以x1+=+=(+p2),
x2+=+=+=(+p2),
所以k1+k2=+
=+=-,
而k3==-,
故k1+k2=2k3,
所以直线NA,NF,NB的斜率成等差数列.
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