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3.3导数在研究函数中的应用
3.3.1　函数的单调性与导数
课时目标　掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a，b)内，如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f(x)在这个区间内为常函数．
2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．
3．求函数单调区间的步骤和方法
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)确定f(x)的单调区间．
一、选择题
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能确定
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．sin x B．xex
C．x3－x D．ln x－x
4．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
5．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是(　　)
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1)
D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
6．函数y＝ax－ln x在(，＋∞)内单调递增，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0]∪[2，＋∞) B．(－∞，0]
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间是____________．
8．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为________．
9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．
三、解答题
10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．
11.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．
(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．
能力提升
12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．
13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．
2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．
3.3　导数在研究函数中的应用
3．3.1　函数的单调性与导数
答案
知识梳理
1．f′(x)>0　f′(x)<0　单调递减　f′(x)＝0
2．变化得快　陡峭　平缓
作业设计
1．A　[f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．A　[因为f(x)在(a，b)上为增函数，∴f(x)>f(a)≥0.]
3．B　[A中，y′＝cos x，当x>0时，y′的符号不确定；B中，y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，当x>0时，y′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C中：y′＝3x2－1，当x>0时，y′>－1；D中，y′＝－1，当x>0时，y′>－1.]
4．A　[f′(x)＝2－cos x，∵cos x≤1，
∴f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]
5．C　[当x>1时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
∴f(1)>f(2)．
当x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
∴f(0)因此f(0)＋f(2)<2f(1)．]
6．C　[∵y′＝a－，函数y＝ax－ln x在内单调递增，
∴函数在(，＋∞)上y′≥0，即a－≥0，
∴a≥.由x>得<2，
要使a≥恒成立，只需a≥2.]
7．(－1,11)
解析　∵f′(x)＝3x2－30x－33
＝3(x＋1)(x－11)．
由f′(x)<0，得－1∴f(x)的单减区间为(－1,11)．
8．(－∞，－3]
解析　f′(x)＝3ax2＋6x－1≤0恒成立
⇔，即，
∴a≤－3.
9．[1，＋∞)
解析　∵f′(x)＝cos x＋a≥0，∴a≥－cos x，
又－1≤cos x≤1，∴a≥1.
10．解　由题设知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝4x－＝，
由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，
得0∴函数f(x)＝2x2－ln x的单调增区间为，单调减区间为.
11．解　(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题设知－1∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，
∴－1＋2＝－b，(－1)×2＝，
即b＝－，c＝－6.
(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，
∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.
∴a的取值范围为(－∞，0)．
12．解　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－1解得x＝，
则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－113．解　(1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈(－∞，＋∞)恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在实数集R上单调递增，所以a≤0.
(2)假设f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
则a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立．
因为－1当a＝3时，在x∈(－1,1)上，f′(x)＝3(x2－1)<0，
即f(x)在(－1,1)上为减函数，所以a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．