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课时提升作业(二十二)
函数的单调性与导数
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是　(　　)
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在上是减函数,在上是增函数
D.在上是增函数,在上是减函数
【解析】选A.因为f′(x)=1+>0,
所以函数在(0,6)上是单调增函数.
2.(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是　(　　)
A.(-∞,-2]　　 B.(-∞,-1]
C.
4.函数f(x)=-,则f(a)与f(b)(a【解析】f′(x)=′==.
当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)为减函数,
因为af(b).
答案:f(a)>f(b)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.讨论函数f(x)=(-1【解题指南】先求函数的定义域,然后判断函数的奇偶性,再判定函数在x∈(0,1)上的单调性,最后得出在-1【解析】f(x)的定义域为(-1,1),函数f(x)是奇函数,只需讨论函数在(0,1)上的单调性.
因为f′(x)=b·
=-,
当00,(x2-1)2>0,
所以-<0.
所以当b>0时,f′(x)<0.所以函数f(x)在(0,1)上是减函数;
当b<0时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(0,1)上是增函数;
又函数f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:
当b>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数;
当b<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.
6.(2015·威海高二检测)若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)上单调递增,试求a的取值范围.
【解析】f′(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立,即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1.因为27,所以当a≤7时,
f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.
综上知5≤a≤7.
【一题多解】本题还可以用以下方法解决:
如图所示,f′(x)=(x-1).
因为在(1,4)内f′(x)≤0,在(6,+∞)内f′(x)≥0,且f′(x)=0有一根为1,
所以另一根在上.所以
即所以5≤a≤7.
【补偿训练】已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由已知,得f′(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈(-∞,+∞)恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.
(2)假设f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,
则a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.
因为-1所以3x2<3,
所以只需a≥3.
故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
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