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课时提升作业(十七)
抛物线方程及性质的应用
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.过抛物线y2=4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条
C.有无穷多条 D.不存在
【解析】选B.由定义|AB|=5+2=7，
因为|AB|min=4，所以这样的直线有两条.
【补偿训练】过点M(3，2)作直线l与抛物线y2=8x只有一个交点，这样的直线共有　(　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
【解析】选B.因为点M(3，2)在抛物线y2=8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y=2适合题意，因此只有一条.
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A，B是C的准线与E的两个交点，则=　(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0)，右焦点为(c，0)，依题意得解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆E的方程为+=1，因为抛物线C：y2=8x的准线为x=-2，将x=-2代入到+=1，解得A(-2，3)，
B(-2，-3)，故=6.
3.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|，则k=　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由
消去y得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0，
所以x1+x2=，x1x2=4.
由抛物线定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，
又因为|AF|=2|BF|，所以x1+2=2x2+4，
所以x1=2x2+2代入x1x2=4，得+x2-2=0，
所以x2=1或-2(舍去)，所以x1=4，
所以=5，所以k2=，
因为k>0，所以k=.
4.(2015·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为　(　　)
A. B. C.1 D.2
【解析】选D.由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1，则|MM1|=.|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|≥6，|AA1|+|BB1|≥6，
2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.
【拓展延伸】“两看两想”的应用
　　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为　(　　)
A. B.3 C. D.
【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离.因此所求的最小值等于=.
5.(2015·青岛高二检测)在平面直角坐标系内，点P到点A(1，0)，B(a，4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a=　(　　)
A.1 B.2　
C.2或-2 D.1或-1
【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个，可以从点P满足的方程有唯一解入手.
【解析】选D.依题意得，一方面，点P应位于以点A(1，0)为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-(x-)上.
由于要使这样的点P是唯一的，
因此要求方程组有唯一的实数解.
结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a=-1时，线段AB的中垂线方程是y=x+2，易知方程组有唯一实数解.
综上所述，a=1或a=-1.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值是________.
【解析】由|AF|=4及抛物线定义得A到准线的距离为4.
所以A点横坐标为-2，
所以A(-2，4)或A(-2，-4).
又原点关于准线的对称点的坐标为B(4，0)，
所以|PA|+|PO|的最小值为|AB|=
=2.
答案：2
7.(2015·延安高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是________.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y=x-p，代入抛物线方程y2=2px，可得3x2-5px+p2=0，所以x1+x2=p，x1x2=，可得x1=p，x2=，可得===3.
答案：3
8.(2015·黄石高二检测)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为________.
【解析】容易求得抛物线方程为y2=4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=4x1，=4x2，两式相减得-=4(x2-x1).整理得=，由于kAB=，而AB中点为(2，2)，所以y2+y1=4，于是kAB==1，因此直线方程为y-2=x-2，即y=x.
答案：y=x
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
【解析】(1)如图所示,由
消去x得,ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1·y2=-1,y1+y2=-.
因为A,B在抛物线y2=-x上,
所以=-x1,=-x2,所以·=x1x2.
因为kOA·kOB=·===-1,
所以OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于点N,显然k≠0.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
因为=+
=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|·|y1-y2|,
所以=·1·
=.
因为=,
所以=,解得k=±.
10.(2015·大连高二检测)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.
【解题指南】(1)利用点P(1，2)在抛物线上可求方程.
(2)倾斜角互补意味着斜率互为相反数，然后利用点差法求解.
【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).
因为点P(1，2)在抛物线上，所以22=2p×1，解得p=2.
故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA=(x1≠1)，kPB=(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA=-kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
所以=-，
所以
=-，
所以y1+2=-(y2+2).
所以y1+y2=-4.
由①-②得，-=4(x1-x2)，
所以kAB===-1(x1≠x2).
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·银川高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)，过点E(m，0)(m≠0)的直线交抛物线于点M，N，交y轴于点P，若=λ，=μ，则λ+μ=　(　　)
A.1 B.- C.-1 D.-2
【解析】选C.由题意设过点E的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1+x2=，x1x2=m2.
由可得
则λ+μ=+=
===-1.
【补偿训练】设双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于　(　　)
A. B.2 C. D.
【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=±x.
因为渐近线与y=x2+1相切，
所以x2+x+1=0有两相等根，
所以Δ=-4=0，所以b2=4a2，
所以e====.
2.(2014·四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是　(　　)
A.2 B.3 C. D.
【解析】选B.可设直线AB的方程为：x=ty+m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB与x轴的交点M(m，0)，由⇒y2-ty-m=0，所以y1y2=-m，又·=2⇒x1x2+y1y2=2⇒(y1y2)2+y1y2-2=0，因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2=-2，故m=2，又F，于是S△ABO+S△AFO=×2×|y1-y2|+××|y1|=|y1+|+|y1|=|y1|+≥2=3，当且仅当|y1|=，即|y1|=时取“=”，
所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.
【补偿训练】(2015·龙岩模拟)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为　
(　　)
A.3 B.4 C.5 D.+1
【解析】选A.N恰好为抛物线的焦点，|PN|等于P到准线的距离，要想|PQ|+|PN|最小，过圆心(3，1)作抛物线y2=4x的准线x=-1的垂线交抛物线于点P，交圆于Q，最小值等于圆心(3，1)到准线x=-1的距离减去半径，即4-1=3.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·南通高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若=，·=36，则抛物线的方程为________.
【解题指南】利用向量的数量积构造关于常数p的方程求解.
【解析】由=知F为AB的中点，设准线与x轴的交点为D，则|DF|=|AC|=p，所以|AC|=2p=|AF|=|FB|，|AB|=4p，所以∠ABC=30°，|BC|=2p，·=|BA||BC|·cos 30°=4p×2p×=36，解得p=，所以y2=2x.
答案：y2=2x
4.已知抛物线y2=2x,点A的坐标为,P为抛物线上的点,当|PA|最小时,P的坐标为________;当P到直线x-y+3=0的距离最短时,最短距离是__.
【解析】(1)设P(x,y),则|PA|2=+y2
=+2x=+.
因为x≥0且在此区间上函数单调递增,故当x=0时,|PA|有最小值,离A点最近的点P(0,0).
(2)设点P(x0,y0)是抛物线y2=2x上任一点,则P到直线x-y+3=0的距离为
d==
=,
所以当y0=1,d有最小值.
答案:(0,0)　
【误区警示】本题易忽略抛物线的范围而出错.
【补偿训练】设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________.
【解析】依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上且与x=3相切时才有可能，可设圆心坐标是(a，0)(0答案：-1
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·邢台高二检测)已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4，2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长.
【解析】由A，B两点在抛物线y2=6x上，
可设A(，y1)，B(，y2).
因为OA⊥OB，所以·=0.
由=(，y1)，=(，y2)，得+y1y2=0.
因为y1y2≠0，所以y1y2=-36，①
因为点A，B与点P(4，2)在一条直线上，
所以=，化简得=，
即y1y2-2(y1+y2)=-24.
将①式代入，得y1+y2=-6.②
由①和②，得y1=-3-3，y2=-3+3，从而点A的坐标为(9+3，-3-3)，点B的坐标为(9-3，-3+3)，所以|AB|=6.
6.(2014·大纲版全国卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程.
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
【解题指南】(1)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得p的值,可得C的方程.
(2)设l的方程为x=my+1(m≠0),代入抛物线方程化简,利用根与系数的关系、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|,把直线l′的方程线代入抛物线方程化简,利用根与系数的关系、弦长公式求得|MN|,由于MN垂直平分线段AB,故A,M,B,N四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,求得m的值,可得直线l的方程.
【解析】(1)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px(p>0),
可得x0=,因为点P(0,4),所以|PQ|=.
又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,
所以+=×,求得p=2,或p=-2(舍去).
故C的方程为y2=4x.
(2)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,设l的方程为x=my+1(m≠0),
代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),显然判别式
Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1·y2=-4,
所以AB的中点坐标为D(2m2+1,2m),弦长|AB|=·|y1-y2|=4(m2+1).
又直线l′的斜率为-m,
所以直线l′的方程为x=-y+2m2+3.
把直线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y-4(2m2+3)=0,
设M(x3,y3),N(x4,y4),
所以y3+y4=,y3·y4=-4(2m2+3).
故线段MN的中点E的坐标为(+2m2+3,),
所以|MN|=|y3-y4|
=,
因为MN垂直平分线段AB,故A,M,B,N四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,
所以·|AB|2+|DE|2=|MN|2,
所以4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2=,化简可得m2-1=0,
所以m=±1,
所以直线l的方程为x-y-1=0,或x+y-1=0.
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