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课时提升作业 二十四
函数的最大(小)值与导数
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·临沂高二检测)函数y=2x3-3x2-12x+5在上的最大值和最小值分别是　(　　)
A.5,-15 B.5,4
C.-4,-15 D.5,-16
【解析】选A.y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),
令y′=0,得x=2或x=-1(舍).
因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,
所以ymax=5,ymin=-15.
【补偿训练】函数y=在区间上的最小值为　(　　)
A.2 B.e2 C. D.e
【解析】选D.y′=,令y′=0,得x=1,
故f(x)min=f(1)=e.
2.(2016·德州高二检测)已知函数f(x),g(x)均为上的可导函数,在上连续且f′(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
【解析】选A.′=f′(x)-g′(x)<0,所以函数f(x)-g(x)在上单调递减,所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).
3.(2016·长春高二检测)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围
是　(　　)
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
【解析】选D.因为2x(x-a)<1,所以a>x-.
令f(x)=x-,所以f′(x)=1+2-xln2>0.
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)>f(0)=0-1=-1,
所以a的取值范围为(-1,+∞).
4.(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是　(　　)
A.3x-15y+4=0 B.15x-3y-2=0
C.15x-3y+2=0 D.3x-y+1=0
【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a值,再求切线方程.
【解析】选B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,
所以f′(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,
因为导数f′(x)的最大值为5,
所以2a2+3=5,因为a>0,所以a=1,
所以f′(1)=5,f(1)=,
所以在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.
5.(2016·潍坊高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在上有最大值3,那么此函数在上的最小值是　(　　)
A.-37 B.-29
C.-5 D.以上都不对
【解题指南】先根据最大值求出m,再求出f(x)在上的最小值.
【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
因为f(x)在上为增函数,
在上为减函数,
所以当x=0时,f(x)=m最大.
所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.
所以最小值为-37.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.当x∈时,函数f(x)=的值域为　　　　.
【解析】f′(x)==,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=2(舍去)
当x∈时,f′(x)>0,
所以当x=0时,f(x)取极小值f(0)=0,也是最小值;
而f(-1)=e,f(1)=,
所以f(x)的最大值为f(-1)=e.
所以f(x)的值域为.
答案:
7.(2016·洛阳高二检测)函数f(x)=(x∈)的最大值是　　　　,最小值是　　　　.
【解析】因为f′(x)==,
令f′(x)=0,得x=1或x=-1.
又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,
所以f(x)在上的最大值为2,最小值为-2.
答案:2　-2
8.若函数f(x)=(a>0)在时,求函数f(x)的最大值和最小值.
【解析】(1)f′(x)=ex(sinx+cosx)
=exsin.
f′(x)≥0,所以sin≥0,
所以2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z,
即2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z.
f(x)的单调增区间为,k∈Z.
(2)由(1)知当x∈时,
是单调增区间,是单调减区间.
f(0)=0,f(π)=0,f=,
所以f(x)max=f=,
f(x)min=f(0)=f(π)=0.
10.(2015·全国卷Ⅱ)已知f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;
x∈时,f′(x)<0,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.
因此f>2a-2等价于lna+a-1<0,
令g(a)=lna+a-1,
则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
于是,当01时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·长沙高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为　(　　)
A.1 B. C. D.
【解析】选D.|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.
【补偿训练】函数f(x)=ex(sinx+cosx),x∈的值域为　　　　.
【解析】当0≤x≤1时,f′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx>0,所以f(x)在上单调递增,则f(0)≤f(x)≤f(1),即函数f(x)的值域为.
答案:
2.(2016·武汉高二检测)当x∈时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是　(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选C.当x=0时,3≥0恒成立,a∈R.
当0设h(x)=,
则h′(x)==.
因为x∈(0,1],
所以h′(x)>0,h(x)递增,
所以h(x)max=h(1)=-6,
所以a≥-6.
当-2≤x<0时,a≤.
易知h(x)=在
4.定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf′(2)+15,在闭区间上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是　　　　.
【解析】函数f(x)=x2+2xf′(2)+15的导函数为f′(x)=2x+2f′(2),
所以f′(2)=4+2f′(2),
所以f′(2)=-4,
所以f(x)=x2-8x+15,且对称轴为x=4.
又因为在闭区间上有最大值15,最小值-1,且f(0)=15,f(4)=-1,
所以 ⊆,且f(m)≤f(0)=15,
所以4≤m≤8.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·江苏高考改编)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).设a=2,b=.
(1)求方程f(x)=2的根.
(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.
【解题指南】(1)应用指数的运算性质求方程的根.
(2)分离变量m,应用基本不等式求最值.
【解析】(1)f(x)=2x+,由f(x)=2可得2x+=2⇒=0⇒2x=1⇒x=0.
(2)由题意得22x+≥m-6恒成立,
令t=2x+,则由2x>0可得t≥2=2,此时t2-2≥mt-6恒成立,即m≤=t+恒成立,
因为t≥2时t+≥2=4,当且仅当t=2时等号成立,因此实数m的最大值为4.
6.(2016·郑州高二检测)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由a>1知,2a>2,当x<2时,
f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;
当2当x>2a时,f′(x)>0,故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.
综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.
(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.
f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a,f(0)=24a.
由假设知即
解得1故a的取值范围是(1,6).
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