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章末综合测评(三)　导数及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝α2－cos x，则f′(α)等于(　　)
A．sin α　　　　　　　　 B．cos α
C．2α＋sin α D．2α－sin α
【解析】　f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，当x＝α时，f′(α)＝sin α.
【答案】　A
2．若曲线y＝在点P处的切线斜率为－4，则点P的坐标是(　　)
A. B.或
C. D.
【解析】　y′＝－，由－＝－4，得x2＝，从而x＝±，分别代入y＝，得P点的坐标为或.
【答案】　B
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，归纳可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
【解析】　观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．
【答案】　D
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
【解析】　由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选B.
【答案】　B
5．已知函数f(x)＝xln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．不存在
【解析】　因为f(x)＝xln x，所以f′(x)＝ln x＋1，于是有x0ln x0＋ln x0＋1＝1，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)，故选A.
【答案】　A
6．过点(0,1)且与曲线y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为(　　) 【导学号：26160104】
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x－y＋1＝0
【解析】　y′＝′＝＝，
∴y′|x＝3＝－，故与切线垂直的直线斜率为2，
所求直线方程为y－1＝2x，
即2x－y＋1＝0.故选D.
【答案】　D
7.已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则y＝f(x)(　　)
图1
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取得极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
【解析】　在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．
【答案】　C
8．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＞ B．a≥
C．a＜ D．a≤
【解析】　f′(x)＝3ax2－2x＋1在(－∞，＋∞)上恒非负，故解得a≥.
【答案】　B
9．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)
A．10 B．15
C．25 D．50
【解析】　设内接矩形的长为x，
则宽为，
∴S2＝x2·＝y，
∴y′＝50x－x3.
令y′＝0，得x2＝50或x＝0(舍去)，
∴S＝625，即Smax＝25.
【答案】　C
10．函数y＝的最大值为(　　)
A．e－1 B．e
C．e2 D.
【解析】　y′＝＝，令y′＝0，得x＝e.
当x>e时，y′<0；当00.
故y极大值＝f(e)＝e－1.因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.
【答案】　A
11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)>2f(1)
C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
【解析】　①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，
所以f(x)在(1，＋∞)内单调递增，在(－∞，1)内单调递减．
所以f(2)>f(1)，f(1)即f(0)＋f(2)>2f(1)．
②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1)，
综合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．
【答案】　D
12．若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)＞－xf′(x)，则一定有(　　)
A．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为增函数
B．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为减函数
C．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数
D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数
【解析】　设G(x)＝xf(x)，则G′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，故G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上递增，故选C.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间为________．
【解析】　令f′(x)＝－1＞0，解不等式即可解得x＜1，注意定义域为(0，＋∞)．所以0＜x＜1.
【答案】　(0,1)
14．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
【解析】　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
【答案】　9
15．若函数f(x)＝ln|x|－f′(－1)x2＋3x＋2，则f′(1)＝________.
【解析】　当x>0时，f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x＋2，
∴f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
∴f′(1)＝1－2f′(－1)＋3.
当x<0时，f(x)＝ln(－x)－f′(－1)x2＋3x＋2，
∴f′(x)＝－－2f′(－1)x＋3＝－2f′(－1)x＋3，
∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，
∴f′(1)＝8.
【答案】　8
16．当x∈[－1,2]时，x3－x2－x【解析】　记f(x)＝x3－x2－x，
所以f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
又因为f＝，f(2)＝2，f(－1)＝－1，f(1)＝－1，
所以当x∈[－1,2]时，[f(x)]max＝2，所以m>2.
【答案】　(2，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1与直线l：4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限．
(1)求点P0的坐标； 【导学号：26160105】
(2)若直线l2⊥l1，且l2也过点P0，求直线l2的方程．
【解】　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l2⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l2的斜率为－.
∵l2过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l2的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
18．(本小题满分12分)(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．
(1)确定a的值；
(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．
【解】　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，
因为f(x)在x＝－处取得极值，
所以f′＝0，
即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.
(2)由(1)得，g(x)＝ex，
故g′(x)＝ex＋ex
＝ex
＝x(x＋1)(x＋4)ex.
令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.
当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；
当－40，故g(x)为增函数；
当－1当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
19．(本小题满分12分)设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)，求g(x)的单调区间和最小值．
【解】　由题意知f′(x)＝，g(x)＝ln x＋，
∴g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以g(x)的最小值为g(1)＝1.
20．(本小题满分12分)(2014·重庆高考)已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【解】　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知
f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)可知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5，无极大值．
21．(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解】　(1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)·
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

42

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
22．(本小题满分12分)(2016·秦皇岛高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象经过原点，f′(1)＝0，曲线y＝f(x)在原点处的切线与直线y＝2x＋3的夹角为135°.
(1)求f(x)的解析式； 【导学号：26160106】
(2)若对于任意实数α和β，不等式|f(2sin α)－f(2sin β)|≤m恒成立，求m的最小值．
【解】　(1)由题意，有f(0)＝c＝0，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①
又曲线y＝f(x)在原点处的切线的斜率k＝f′(0)＝b，而直线y＝2x＋3与此切线所成的角为135°，所以＝－1.②
联立①②解得a＝0，b＝－3，所以f(x)＝x3－3x.
(2)|f(2sin α)－f(2sin β)|≤m恒成立等价于
|f(x)max－f(x)min|≤m，由于2sin α∈[－2,2]，2sin β∈[－2,2]，故只需求出f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的最值，而f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝±1，列表如下：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－2

2

－2

2
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－2，所以|f(x)max－f(x)min|＝4≤m，所以m的最小值为4.