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章末综合测评(二)　点、直线、平面之间的位置关系
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是(　　)
A．相交　 B．异面
C．平行 D．异面或相交
【解析】　根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行．
【答案】　D
2．下列说法不正确的是(　　)
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
【解析】　A、B、C显然正确．易知过一条直线有无数个平面与已知平面垂直．选D.
【答案】　D
3．(2015·太原高二检测)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
【解析】　对于A，通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错；对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B.
【答案】　B
4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是(　　)
【导学号：09960089】
A．若a、b与α所成的角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
【解析】　A中，a、b可以平行、相交或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，α、β可以平行或相交．
【答案】　D
5．(2016·山西山大附中高二检测)如图1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
图1
A．45° B．60°
C．90° D．120°
【解析】　如图，连接A1B、BC1、A1C1，则A1B＝BC1＝A1C1，
且EF∥A1B、GH∥BC1，
所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.
【答案】　B
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】　选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.
【答案】　B
7．(2015·洛阳高一检测)如图2，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是(　　)
图2
A．AD⊥平面BDC
B．BD⊥平面ADC
C．DC⊥平面ABD
D．BC⊥平面ABD
【解析】　由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC，又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB＝AC，BD＝DC＝AB.
又∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝BD，
所以∠BDC＝90°，即BD⊥DC.
所以BD⊥平面ADC，同理DC⊥平面ABD.
所以A、B、C项均正确．选D.
【答案】　D
8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】　由棱锥体积公式可得底面边长为2，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan θ＝(设θ为所求平面角)，所以二面角为60°，选C.
【答案】　C
9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是(　　)
A．45° B．30°
C．60° D．90°
【解析】　如图，设正方形边长为a，作AO⊥BD，则AM＝＝＝a，
又AD＝a，DM＝，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.
【答案】　D
10．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接PE.
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，
∴BD⊥PE.
∵AE＝＝，PA＝1，
∴PE＝＝.
【答案】　B
11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
【导学号：09960090】
A．75° B．60°
C．45° D．30°
【解析】　如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，
则S＝×()2＝，
VABC­A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.
又AO＝×＝1，
∴tan ∠PAO＝＝，∴∠PAO＝60°.
【答案】　B
12．正方体ABCD­A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是(　　)
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成的角为45°
【解析】　因为AH⊥平面A1BD，
BD⊂平面A1BD，
所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.
所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.
所以A1H⊥BD，
同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，A正确．
因为平面A1BD∥平面CB1D1，
所以AH⊥平面CB1D1，B正确．
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．
因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．
因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D错误．
【答案】　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
【解析】　由面面平行的性质得AC∥BD，＝，解得SD＝9.
【答案】　9
14．如图3，四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.
图3
【解析】　当E是SA的中点时，
连接EB，ED，AC.
设AC与BD的交点为O，连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又E是SA的中点，
∴OE是△SAC的中位线．
∴OE∥SC.
∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，
∴SC∥平面EBD.
【答案】　E是SA的中点
15．如图4所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．
图4
【解析】　∵B1C1⊥平面A1ABB1，
MN⊂平面A1ABB1，
∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角，
∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.
∴MN⊥平面MB1C1，又MC1⊂平面MB1C1，
∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.
【答案】　90°
16．已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线．
以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
【解析】　由条件可得AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，故①正确；
若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，
得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，
由AB＝CD，PD>PA知③正确；
由E、F分别是棱PC、PD的中点，
可得EF∥CD，又AB∥CD，
∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．
【答案】　①③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图5所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面SBC.
图5
【证明】　∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC.
又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC，∵SA∩AC＝A，
∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD.
又∵SC⊥AD，SC∩BC＝C，
∴AD⊥平面SBC.
18．(本小题满分12分)如图6，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
图6
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
【证明】　(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.
∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，
而B1C⊂平面BCC1B1，
∴AC⊥B1C.
(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.
19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；
②证明：面PBD⊥面AGC.
图7
【解】　(1)该几何体的直观图如图所示：
(2)证明：①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.
②连接PO，由三视图知，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.
又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.
因为AO⊂平面AGC，
所以平面PBD⊥平面AGC.
20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
图8
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
【导学号：09960091】
【证明】　(1)如图，设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG，且EF＝1，
AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，
∴四边形CEFG为平行四边形，
又∵CE＝EF＝1，∴▱CEFG为菱形，
∴EG⊥CF.
在正方形ABCD中，AC⊥BD.
∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
∴BD⊥平面CEFG.∴BD⊥CF.
又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE.
21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
图9
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
【解】　(1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点．又H为BC的中点，所以MH∥BD.又MH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.
证法二：在三棱台DEF­ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.
(2)连接HE.
因为G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB.
由AB⊥BC，得GH⊥BC.
又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形．
所以CF∥HE.
又CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH⊂平面EGH，
HE∩GH＝H，
所以BC⊥平面EGH.
又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.
22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
图10
(1)求证：PA∥平面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E­BD­C为30°，求四棱锥P­ABCD的体积．
【解】　(1)证明：
连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，
∴OE∥PA.
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE.
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.
又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.
(2)取OC中点F，连接EF.
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E­BD­C的平面角，
∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，
OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a.
∴VP­ABCD＝×a2×a＝a3.