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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分而不必要条件是(　　)
A．a·b>0　 B．a·b<0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
【解析】　∵＋≤－2，∴≤－2.
∵a2＋b2>0，
∴ab<0，则a，b异号，故选C.
【答案】　C
2．平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
【解析】　∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【答案】　D
3．若实数a，b满足0【导学号：19220019】
A. B．a2＋b2
C．2ab D．a
【解析】　∵a＋b＝1，a＋b>2，
∴2ab<.
而a2＋b2>＝，
又∵0∴a<，∴a2＋b2最大，故选B.
【答案】　B
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　若A>B，则a>b，
又＝，∴sin A>sin B；
若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
【答案】　C
5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
【解析】　对于A，m与α不一定垂直，所以A不正确；对于B，α与β可以为相交平面；对于C，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D，β与γ不一定垂直．
【答案】　C
二、填空题
6．设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则k＝________.
【解析】　若A，B，C三点共线，则＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，
∴
∴
【答案】　6
7．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】　∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，∴a>c，
又∵＝＝>1，∴c>b，∴a>c>b.
【答案】　a>c>b
8．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．
【解析】　对不等式②作等价变形：>⇔>0.于是，若ab>0，bc>ad，则>0，故①③⇒②.若ab>0，>0，则bc>ad，故①②⇒③.若bc>ad，>0，则ab>0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．
【答案】　3
三、解答题
9．如图2­2­3，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF∥平面PEC.
图2­2­3
【证明】　∵四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，
∴AB綊CD.
又∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴CF綊AE.
∴四边形AECF为平行四边形．
∴AF∥EC.
又AF⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
10．(2016·临沂高二检测)在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形．
【证明】　由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，
又a，b，c也成等差数列，∴b＝，
代入上式得＝a2＋c2－ac，
整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，
而B＝，则A＝B＝C＝，
从而△ABC为等边三角形．
[能力提升]
1．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)
A．2 B.
C．1 D.
【解析】　∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，
∴＋＝log3(ab)≤log32＝1.故选C.
【答案】　C
2．(2016·西安高二检测)在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【解析】　因为tan A·tan B>1，
所以角A，角B只能都是锐角，
所以tan A>0，tan B>0,1－tan A·tan B<0，
所以tan(A＋B)＝<0.
所以A＋B是钝角，即角C为锐角．
【答案】　A
3．若0【导学号：19220020】
【解析】　由0且a≠b，得a＋b>2，a2＋b2>2ab.
又a>a2，b>b2，
知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．
【答案】　a＋b
4．(2016·泰安高二检测)如图2­2­4所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，求证：直线EF的斜率为定值．
图2­2­4
【证明】　设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，
∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，
∴直线MF的斜率为－k，
∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y)．
由消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.
解得yE＝，∴xE＝.
同理可得yF＝，∴xF＝.
∴kEF＝＝＝
＝－(定值)．
∴直线EF的斜率为定值．