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课后提升作业十四
平面与平面垂直的判定
(45分钟　70分)[来源:学。科。网Z。X。X。K]
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为　(　　)
A.30°            B.60°            C.90°            D.120°
【解析】选B.由题可知，因为有m⊥α，n⊥β，所以m，n所成的角与二面角α-l-β所成的角相等或者互补，因为二面角α-l-β的大小为60°，所以异面直线m，n所成的角为60°.
2.(2016·吉安高二检测)在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是　(　　)
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDF⊥平面ABC
【解析】选D.D，F分别为AB，AC的中点，DF为三角形的中位线，则BC∥DF，依据线面平行判定定理可知，BC∥平面PDF；又E为BC的中点，连接AE，PE，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直判定定理可知BC⊥平面PAE，因BC∥DF，则DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，所以只有D不成立.
【延伸探究】本题中若将条件“D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点”改为“PC⊥AB，AC⊥PC”，则下列结论成立的是　(　　)
A.平面PAB⊥平面PBC    　        B.平面PAB⊥平面PAC
C.平面PAB⊥平面ABC    　        D.平面PBC⊥平面ABC
【解析】选D.因为PC⊥AB，PC⊥AC，AB∩AC=A，所以PC⊥平面ABC，又PC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
3.(2016·太原高二检测)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有　(　　)

A.2对            B.3对            C.4对            D.5对
【解析】选D.观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面几组互相垂直的平面：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB，一共5对.
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是　
(　　)
A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【解析】选D.对于选项A，分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能，但未必垂直；对于选项B，分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能；对于选项C，两个平面分别经过两垂直直线中的一条，不能保证两个平面垂直；对于选项D，m⊥α，m∥n，则n⊥α；又因为n∥β，则β内存在与n平行的直线l，因为n⊥α，则l⊥α，由于l⊥α，l⊂β，所以α⊥β.
5.如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是　(　　)

A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【解析】选D.A正确，因为GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE=G，PC∩CB=C，
所以平面EFG∥平面PBC；
B正确，因为PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
所以GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC=C，
所以GF⊥平面ABC，
所以平面EFG⊥平面ABC；
C正确，易知EF∥BP，
所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；
D错误，因为GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角.
6.(2016·嘉峪关高一检测)三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，高是，侧棱长为，那么侧面与底面所成的二面角是　(　　)
A.60°            B.30°            C.45°            D.75°
【解析】选A.过B作AC边上的中线BD，交AC于D，连接VD，
则V在底面ABC上的射影O点在中线BD上，且BO=2OD，
因为VO⊥平面ABC，
所以BO2=VB2-VO2，
又VO=，VB=，
所以BO=2，OD=1，[来源:学_科_网Z_X_X_K]
所以cos∠VDO=，
所以∠VDO=60°.
即平面VAC与平面ABC所成二面角为60°.
7.(2016·赣州高二检测)如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1上的动点，下列说法：

①AP⊥B1C；②BP与CD1所成的角是60°；③为定值；④B1P∥平面D1AC；⑤二面角P-AB-C的平面角为45°.
其中正确说法的个数有　(　　)
A.2个            B.3个            C.4个            D.5个
【解析】选C.①AB⊥BC，AB⊥BB1，所以平面ABP⊥平面BB1C1C，从而AP⊥B1C正确；②由于CD1∥A1B，并且BC1与A1B的夹角是60°，故BP与CD1所成的角是
60°正确；③虽然点P变化，但P到AD1的距离始终不变，故为定值正确；⑤P点变化，但二面角P-AB-C都是面AD1C1B与面ABCD所成的角，故二面角P-AB-C的平面角为45°正确.
8.如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与CD所成的角为60°；④AB与平面BCD所成的角为60°.
其中错误的结论是　(　　)

A.①            B.②            C.③            D.④
【解析】选D.如图所示，取BD的中点E，

连接AE，EC，AC，易知BD⊥面AEC，所以①正确；[来源:学科网ZXXK]
设正方形的边长为a，则AE=EC=a，
由勾股定理可得AC=a，
所以△ACD是等边三角形，②正确；
取BC的中点F，AC的中点G，
连接EF，EG，FG，则EF=FG=a，EG=a，
所以AB与CD所成的角为60°，③正确；
AB与平面BCD所成的角为∠ABE=45°，所以④错误.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2016·济宁高一检测)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点.有以下四个命题：

①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；
③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)
【解析】①不正确，因为PA⊂平面MOB；
②正确，因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，
所以MO∥平面PAC；
③不正确，OC不垂直于AC；
④正确，因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，
所以BC⊥平面PAC.
答案：②④
【补偿训练】(2016·广州高一检测)如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°.
其中正确的有____________(把所有正确的序号都填上).

【解析】对于①，由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以AE⊥PB，①正确；对于②，因为平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；对于③，由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立，③错；对于④，在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45°，所以④正确.
答案：①④
10.(2016·台州高二检测)A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.
【解析】由题可知，设过点A作l的垂线，垂足为C，由于AB⊥β，则三角形ABC为直角三角形，∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，BC==1，因此∠ACB=60°，即二面角α-l-β的平面角是60°.
答案：60°
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.如图所示，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC.
(2)求二面角D-AP-C的正弦值.
【解析】(1)因为D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20，所以PD=AB=10，所以AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC=P，
所以AP⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.
又AC⊥BC，AP∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.
又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)因为PA⊥PC，且PA⊥PB，
所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.
由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，
所以sin∠BPC==.
12.(2016·山东高考)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.
(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC.
(2)已知EF=FB=AC=2,AB=BC.求二面角F-BC-A的余弦值.[来源:Z#xx#k.Com]
【解析】(1)如图,设FC中点为I,连接GI,HI,在△CEF中,GI∥EF,
又EF∥OB,所以GI∥OB;在△CFB中,HI∥BC,
又HI∩GI=I,
所以,平面GHI∥平面ABC,
又因为GH⊂平面GHI,GH⊄平面ABC,
所以GH∥平面ABC.

(2)如图,连接OO',过点F作FM垂直OB于点M,则有FM∥OO'.又OO'⊥平面ABC,所以FM⊥平面ABC,可得FM==3.
过点M作MN⊥BC,垂足为N,易得FN⊥BC,
从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角.
又AB=BC,AC为下底面圆的直径,
可得MN=BMsin45°=.
由勾股定理可得,FN=,从而cos∠FNM=.
所以二面角F-BC-A的余弦值为.
【能力挑战题】
如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点.

(1)求证：AF⊥EF.
(2)求二面角A-PC-B的平面角的正弦值.
【解析】(1)因为F是PB的中点，且PA=AB，所以AF⊥PB，
因为△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
所以PA⊥AD，PA⊥AB.
因为AD∩AB=A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.
因为BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥AB.
因为PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
所以BC⊥平面PAB.
因为AF⊂平面PAB，所以BC⊥AF.
因为PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AF⊥平面PBC.
因为EF⊂平面PBC，所以AF⊥EF.
(2)作FH⊥PC于点H，连接AH，
因为AF⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AF⊥PC.
因为AF∩FH=F，AF⊂平面AFH，FH⊂平面AFH，
所以PC⊥平面AFH.
因为AH⊂平面AFH，所以PC⊥AH.
所以∠AHF为二面角A-PC-B的平面角.
设正方形ABCD的边长为2，则PA=AB=2，AC=2，
在Rt△PAC中，
PC==2，AH==，
在Rt△AFH中，sin∠AHF==，
所以二面角A-PC-B的平面角的正弦值为.
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