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课时提升作业(五)
充要条件
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2015·安徽高考)设p：11，则p是q成立的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由q：2x>20⇒x>0可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件.
2.(2015·绵阳高二检测)“a=2”是“直线(a2-a)x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行”的　(　　)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.若a=2，则2x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行，是充分条件；若直线(a2-a)x+y-1=0和2x+y+1=0互相平行，则a=2或a=-1，不是必要条件，故选C.
【补偿训练】(2015·杭州高二检测)“a=-1”是“l1：x+ay+6=0与l2：(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行(l1与l2不重合)”的__________条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”).
【解析】若直线l1：x+ay+6=0与l2：(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行，则需满足
1×2(a-1)-a×(3-a)=0，化简整理得a2-a-2=0，解得a=-1或a=2，经验证得当a=-1时两直线平行，当a=2时，两直线重合，故“a=-1”是“l1：x+ay+6=0与l2：(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行”的充要条件.
答案：充要
3.(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b=|a||b|”是“a∥b”的　(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件　
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos=1，=0，所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.
【补偿训练】已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”成立的　(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.a>2可以推出a2>2a，a2>2a可以推出a>2或a<0，不一定推出a>2，“a>2”是“a2>2a”的充分不必要条件.
4.(2015·陕西高考)“sinα=cosα”是“cos 2α=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.方法一：由cos2α=0得cos2α-sin2α
=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0，
得sinα=cosα或sinα=-cosα.
所以sinα=cosα⇒cos 2α=0，
即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.
方法二：由sinα=cosα，得sin=0，即α-=kπ，α=kπ+，
k∈Z.
而cos 2α=0，得2α=kπ+，α=+，k∈Z.
所以sinα=cosα⇒cos2α=0，即“sinα=cosα”是
“cos2α=0”的充分不必要条件.
5.(2015·中山高二检测)若m>0且m≠1，n>0，则“logmn<0”是“(m-1)(n-1)
<0”的　(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由logmn<0知，
当m>1时，0当01，此时(m-1)(n-1)<0成立，
所以logmn<0是(m-1)(n-1)<0的充分条件；
反之，因为m>0且m≠1，n>0，
所以当(m-1)(n-1)<0时，
或
此时总有logmn<0，
所以，logmn<0是(m-1)(n-1)<0的必要条件.
综上，选C.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.设p，r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的____________条件，r是t的__________条件.
【解析】由题意可画出图形，如图所示.
由图形可以看出p是t的充分条件，r是t的充要条件.
答案：充分　充要
【补偿训练】(2013·哈尔滨高二检测)设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的　(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由题意，甲⇒乙，而乙甲，丙⇔乙，丙⇒丁，而丁⇒/丙，可见甲⇒丁，而丁⇒/甲，故丁是甲的必要不充分条件.
7.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是__________.
【解析】因为直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切，所以圆心(1，1)到直线x+y+m=0的距离等于，所以=，即|m+2|=2解得m=-4或0.
当m=-4或0时，直线与圆相切.
答案：m=-4或0
8.(2015·杭州高二检测)设m∈N*，一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=________.
【解题指南】先将根用m表示，再用整数等有关概念分析验证.
【解析】x==2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4，又m∈N*，取m=1，2，3，4.验证可得m=3，4符合题意，所以m=3，4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.
答案：3或4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(2015·威海高二检测)已知p：-4【解析】设q，p表示的范围为集合A，B，
则A=(2，3)，B=(a-4，a+4).
由于q是p的充分而不必要条件，则有AB，
即或解得-1≤a≤6.
10.求证：关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
【证明】充分性：因为m≥2，所以Δ=m2-4≥0.
所以x2+mx+1=0有实根，两根设为x1，x2，
由根与系数的关系，知x1x2=1>0，
所以x1与x2同号，
又x1+x2=-m≤-2<0，所以x1，x2同为负实根.
必要性：因为x2+mx+1=0有两个负实根x1和x2，
所以故m≥2，
综上，m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.
【补偿训练】(2014·衡水高二检测)求证：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).
【证明】充分性：因为a+b=-(c+d)，
所以a+b+c+d=0.
所以a×13+b×12+c×1+d=0成立，
故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根.
必要性：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1，所以a+b+c+d=0，
所以a+b=-(c+d)成立.综上得证.
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·四川高考)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由3a>3b>3，知a>b>1，
所以log3a>log3b>0，
所以<，
即loga3所以“3a>3b>3”是“loga3但是取a=，b=3也满足loga3b>1，
所以“3a>3b>3”是“loga32.(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，
q：l1，l2不相交，则　(　　)
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】选A.若p：l1，l2是异面直线，由异面直线的定义知，l1，l2不相交，所以命题q：l1，l2不相交成立，即p是q的充分条件，反过来，若q：l1，l2不相交，则l1，l2可能平行，也可能异面，所以不能推出l1，l2是异面直线，即p不是q的必要条件.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件.
【解析】“直线l与平面α内无数条直线都垂直”中的“无数条直线”是“一组平行直线”时，不能推出线面垂直；由“直线l与平面α垂直”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都垂直”.
答案：必要不充分
【延伸探究】本题条件中的两处“垂直”都变为“平行”，则结论如何？
【解析】当直线l⊂α时，不能推出l∥α，不是充分条件；由“直线l与平面α平行”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都平行”，所以是必要不充分条件.
4.(2015·长沙高二检测)若“0【解析】令A={x|0由题意可得AB，所以
解得-1≤a≤0.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·郑州高二检测)(1)是否存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件？
【解析】(1)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件，则只要⊆{x|x<-1或x>3}，即只需-≤-1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件，则只要{x|x<-1或x>3}⊆，这是不可能的.故不存在实数m，使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
6.(2015·烟台高二检测)设a， b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，证明：“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.
【证明】充分性：由a2=b(b+c)=b2+c2-2bccosA可得1+2cosA==.
即sinB+2sinBcosA=sin(A+B).
化简，得sinB=sin(A-B)，
由于sinB>0且在三角形中，
故B=A-B，即A=2B.
必要性：若A=2B，则A-B=B，sin(A-B)=sinB，
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB.
所以sin(A+B)=sinB(1+2cosA).
因为A，B，C为△ABC的内角，
所以sin(A+B)=sinC，
即sinC=sinB(1+2cosA).
所以=1+2cosA=1+=，
即=.
化简得a2=b(b+c).
所以a2=b(b+c)是“A=2B”的充要条件.
【补偿训练】已知{an}为等差数列，且a1+a4=10，a1+a3=8，前n项和为Sn.求证：a1，ak，Sk+2成等比数列的充要条件是k=6.
【证明】设等差数列{an}的公差为d，
由题意得解得
所以an=2+2(n-1)=2n，
由此得Sn===n(1+n).
(充分性)当k=6时，a1=2，ak=a6=12，Sk+2=S6+2=S8=8×9=72，
因为===，
所以a1，a6，S6+2成等比数列，即a1，ak，Sk+2成等比数列.
(必要性)由a1，ak，Sk+2成等比数列，
得=a1Sk+2，
从而(2k)2=2(k+2)(k+3)，
即k2-5k-6=0，
解得k=-1(舍去)或k=6.
综上可知，k=6是a1，ak，Sk+2成等比数列的充要条件.
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