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学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．下列语句不是命题的有(　　)
①2＜1；②x＜2 016；③若x＜2，则x＜1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0个　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】　②不是命题，故选B.
【答案】　B
2．下列命题是真命题的是(　　)
A．{∅}是空集
B．{x∈N||x－1|＜3}是无限集
C．π是有理数
D．x2－5x＝0的根是自然数
【解析】　解方程x2－5x＝0得x＝0或x＝5.故D正确．
【答案】　D
3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　)
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
【解析】　把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．
【答案】　C
4．(2016·日照高二期末)下列命题正确的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞－b，则－a＞b
C．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a－c＞b－c
【解析】　当c＝0时选项A不正确；a＞－b时，－a＜b，选项B不正确；当c＜0时，选项C不正确；由不等式的性质知选项D正确，故选D.
【答案】　D
5．下列说法正确的是(　　)
A．命题“x＋y为有理数，则x，y也都是有理数”是真命题
B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当x＜0时，方程x2－4x＝0有负根”是假命题
【解析】　选项A不正确，如x＝，y＝－，则x＋y＝0为有理数；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D是正确的．
【答案】　D
二、填空题
6．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________. 【导学号：26160003】
【答案】　若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
7．命题“3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】　“3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1＞0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m＞0时，且Δ＝m2－12m＜0，即0＜m＜12时，3mx2＋mx＋1＞0恒成立，所以0＜m＜12满足题意；
当m＜0时，3mx2＋mx＋1＞0不恒成立．
综上知0≤m＜12.
【答案】　[0,12)
8．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a·b)c＝(c·a)b；
②|a|－|b|＜|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中是真命题的序号是________．
【解析】　由于c与b不一定共线，故①错；又[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，从而知③错．
【答案】　②④
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)函数y＝ax是指数函数；
(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2有唯一解．
【解】　(1)当a＞0且a≠1时，函数y＝ax是指数函数，所以是假命题．
(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2，即(a－1)x＝1，当a＝1时，方程无解；当a≠1时，方程有唯一解，所以是假命题．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)内接于圆的四边形的对角互补；
(2)被5整除的整数的末位数字是5；
(3)三角形相似，对应边成比例．
【解】　(1)若四边形内接于圆，则它的对角互补．真命题．
(2)若一个整数被5整除，则它的末位数字是5.假命题．
(3)若两个三角形相似，则它们的对应边成比例．真命题．
[能力提升]
1．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)
A．4　　　　B．2　　　　C．0　　　　D．－3
【解析】　方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故当a＝0时适合条件．
【答案】　C
2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【解析】　a·b＝0，在a，b为非零向量时可得a⊥b；a2＝b2可改写为|a|2＝|b|2，只能得出|a|＝|b|；a·b＝a·c，可移项得a⊥(b－c)，不可两边同除以向量．
【答案】　B
3．把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．
若函数f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________.
【解析】　设g(x)图象上任一点(x，y)，则它关于x轴的对称点为(x，－y)，此点在f(x)的图象上，故有－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0)．
【答案】　－3－log2x(x＞0)
4．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B＝∅是真命题，求实数m的取值范围．
【导学号：26160004】
【解】　当Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)<0，即－1所以解得m≥.
综上，m的取值范围是(－1，＋∞)．