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课时提升作业 十
椭圆的简单几何性质
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·广东高考)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=　(　　)
A.9 B.4 C.3 D.2
【解析】选C.由题意得:m2=25-42=9,
因为m>0,所以m=3.
2.(2016·烟台高二检测)椭圆+=1与+=1(0A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距
C.有相同的焦点 D.有相等的离心率
【解析】选B.对于椭圆+=1(0c2=(25-k)-( 9-k)=16,
焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.
【补偿训练】将椭圆C1∶2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半,而横坐标不变,得一新椭圆C2,则C2与C1有　(　　)
A.相等的短轴长　　　　 B.相等的焦距
C.相等的离心率 D.相等的长轴长
【解析】选C.把C1的方程化为标准方程,即
C1:+=1,从而得C2:+y2=1.
因此C1的长轴在y轴上,C2的长轴在x轴上.
e1==e2,故离心率相等.
【误区警示】解答本题时容易得到C2:+=1.而错选A.
3.已知椭圆+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标
是　(　　)
A.(±,0) B.(0,±)
C.(±,0) D.(0,±)
【解析】选A.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,
又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,
所以c==.
所以椭圆的焦点坐标是(±,0).
4.(2016·南昌高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为　(　　)
A. B. C. D.-2
【解析】选B.因为A,B分别为左右顶点,F1,F2分别为左右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=.
【补偿训练】设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为　(　　)
A.　 　B.　　 C.2-　 　D.-1
【解析】选D.设椭圆方程为+=1(a>b>0),
因为F1(-c,0),所以P(-c,yP)代入椭圆方程得
+=1,所以=,
又因为b2=a2-c2,所以=2c,所以e2+2e-1=0,又05.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是　(　　)
A.98a B.99a C.100a D.101a
【解析】选D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性
有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|,
因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.
故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.
【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为　　　　　.
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由得
由a2=b2+c2,得b2=32.
故椭圆的方程为+=1.
答案:+=1
7.(2016·济南高二检测)已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为　　　　.
【解析】由椭圆的标准方程,易知m>0且m≠5.
①若0由=1-=,得m=3.
②若m>5,则a2=m,b2=5.
由=1-=,得m=.
所以m的值为3或.
答案:3或
8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为　　　　.
【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.
【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+
3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.
答案:6
【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.
【解析】设椭圆方程为
+=1(a>b>0),则M(c,b).
代入椭圆方程,得+=1,所以=,
所以=,即e=.
【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M点的坐标为(c,b),
则△MF1F2为直角三角形.
在Rt△MF1F2中,
|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,
即4c2+b2=|MF1|2.
而|MF1|+|MF2|=+b=2a,
整理得3c2=3a2-2ab.
又c2=a2-b2,所以3b=2a.所以=.
所以e2===1-=,
所以e=.
10.(2016·潍坊高二检测)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率.
(2)若=2,·=,求椭圆的方程.
【解析】(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.
所以a=c,e==.
(2)由题意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).
其中,c=,设B(x,y).
由=2⇔(c,-b)=2(x-c,y),
解得x=,y=-,即B.
将B点坐标代入+=1,得+=1,
即+=1,解得a2=3c2.①
又由·=(-c,-b)·=
⇒b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②
由①②解得c2=1,a2=3,
从而有b2=2.
所以椭圆方程为+=1.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.( 2016·武汉高二检测)椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于B(0,2),且·=4+4,则椭圆C的方程
为　(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选C.由已知得F(c,0),A(a,0),B(0,2),
所以·=(c,-2)·(a,-2)=ac+4=4+4,
所以
解得a2=8,b2=4.
所以椭圆C的方程为+=1.
2.(2016·长春高二检测)如图,F1,F2分别是椭圆+=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为　(　　)
A. B. C. D.-1
【解析】选D.由题意知A.
把A代入椭圆+=1(a>b>0),得+=1,
所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),
整理,得e4-8e2+4=0,
所以e2==4±2.因为0二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0【解析】因为b=1,所以c2=a2-1,
又==1-≤,
所以≥,所以a2≤4,
又因为a2-1>0,所以a2>1,
所以1答案:(2,4]
4.(2016·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　.
【解题指南】利用kBF·kCF=-1计算得出离心率的值.
【解析】将直线y=与椭圆的方程联立得B,C,F(c,0),
则kBF=,kCF=,
因为∠BFC=90°,所以kBF·kCF=×=-1,
整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,
即3c2=2a2⇒e==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求·的取值范围.
【解析】由+=1,得F1(-,0),F2(,0),
设P(x0,y0),则=(--x0,-y0),
=(-x0,-y0).
所以·=(-5)+.①
又+=1,所以=4-,代入①,
得·=-1,
因为0≤≤9,所以0≤≤5,
所以-1≤·≤4,
所以·∈.
【误区警示】本题易出现只注意到≥0得出·≥-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0∈.
6.已知椭圆x2+=1(0【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别求出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.
【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为圆P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,
FC的垂直平分线方程为x=.①
因为BC的中点为,kBC=-b,
所以BC的垂直平分线方程为y-=②
由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.
因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,
可得(1+b)(b-c)=0,
因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,
所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.
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