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课时提升作业(十三)
双曲线的简单几何性质
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.若双曲线-=1的渐近线方程为y=±2x，则实数m等于　(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32
【解析】选D.由题意，得双曲线焦点在x轴上，
且a2=8，b2=m，所以a=2，b=.
又渐近线方程为y=±2x，所以=4.所以m=32.
2.(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为　(　　)
A. B.2 C. D.
【解析】选D.设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，如图所示，
|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，
在Rt△BMN中，|BN|=a，|MN|=a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，所以e=.
【补偿训练】已知0<θ<，则双曲线C1：-=1与C2：-=1的　(　　)
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.焦距相等 D.离心率相等
【解析】选D.因为0<θ<，所以双曲线C1的离心率
e1===，
而双曲线C2的离心率
e2===
===，所以e1=e2.
3.(2015·石家庄高二检测)已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不可能是　(　　)
A.15° B.25° C.60° D.165°
【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=±x，所以渐近线的倾斜角为30°或150°，所以∠POF不可能等于60°.
4.(2015·银川高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(，y0)在双曲线上，则·=　(　　)
A.-12 B. -2 C.0 D.4
【解题指南】由渐近线方程求出b，得到双曲线方程，进而求出F1，F2及P的坐标即可.
【解析】选C.由渐近线方程为y=x知，=1，
所以b=，
因为点P(，y0)在双曲线上，
所以y0=±1，
y0=1时，P(，1)，F1(-2，0)，F2(2，0)，
所以·=0，
y0=-1时，P(，-1)，·=0.
5.设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|=　(　　)
A.1或5 B.6 C.7 D.9
【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,所以=,因为b=3,所以a=2.
又||PF1|-|PF2||=2a=4,所以|3-|PF2||=4.
所以|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去).
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为________________.
【解析】根据双曲线渐近线方程为y=±x，可设双曲线的方程为-y2=m，把
(4，)代入-y2=m，得m=1.
答案：-y2=1
7.(2015·揭阳高二检测)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B为椭圆的顶点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.
【解析】设中心在坐标原点的双曲线左焦点F，实轴右端点A，虚轴端点B，
FB⊥AB，则|AF|2=|AB|2+|BF|2，
因为|AF|2=(a+c)2，|AB|2=a2+b2，|BF|2=b2+c2，
所以c2-a2-ac=0，
因为e=，所以e2-e-1=0，
因为e>1，所以e=.
答案：
【补偿训练】已知双曲线C：-=1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是____________.
【解析】因为等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，所以双曲线C：-=1的离心率e>，
即>2.所以m>4.
答案：(4，+∞)
8.(2015·孝感高二检测)双曲线-=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________.
【解析】设|PF1|=m，|PF2|=n(m>n)，所以a=3，b=4，c=5.由双曲线的定义知，m-n=2a=6，
又PF1⊥PF2.所以△PF1F2为直角三角形.
即m2+n2=(2c)2=100.
由m-n=6，得m2+n2-2mn=36，
所以2mn=m2+n2-36=64，mn=32.
设点P到x轴的距离为d，
=d|F1F2|=|PF1|·|PF2|，
即d·2c=mn.所以d===3.2，
即点P到x轴的距离为3.2.
答案：3.2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(1)已知双曲线的渐近线方程为y=±x，求双曲线的离心率.
(2)双曲线的离心率为，求双曲线的两条渐近线的夹角.
(3)双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4，-1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.
【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为y=±x，
所以=或=.
当=时，e=；当=时，e=.
(2)因为e==，所以=，即a=b，
所以双曲线渐近线方程为y=±x.
所以双曲线两条渐近线的夹角为90°.
(3)因为点A与圆心O连线的斜率为-，
所以过A的切线的斜率为4.
所以双曲线的渐近线方程为y=±4x.
设双曲线方程为x2-=λ.
因为点A(4，-1)在双曲线上，
所以16-=λ，λ=.
所以双曲线的标准方程为-=1.
10.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为
3∶7.
(1)求这两曲线方程.
(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积.
【解析】(1)设椭圆方程为+=1，双曲线方程为-=1(a， b，m，n>0，且a>b)，则
解得：a=7，m=3，所以b=6，n=2，
所以椭圆方程为+=1，双曲线方程为-=1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|+|PF2|=14，|PF1|-|PF2|=6，所以|PF1|=10，|PF2|=4，
所以cos∠F1PF2==，所以sin∠F1PF2=.
所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=·10·4·=12.
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为
(0，2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选A.2a+2b=·2c，即a+b=c，
所以a2+2ab+b2=2(a2+b2)，
所以(a-b)2=0，即a=b.
因为一个顶点坐标为(0，2)，
所以a2=b2=4，
所以y2-x2=4，即-=1.
【补偿训练】渐近线方程为3x±4y=0，焦点为椭圆+=1的短轴端点的双曲线方程为________.
【解析】双曲线的焦点为椭圆的短轴端点，即(0，)，(0，-)，所求双曲线方程可设为-=1(λ>0)，
所以5=9λ+16λ，λ=.
故所求的双曲线方程为-=1.
答案：-=1
2.已知实数4，m，9构成一个等比数列，m为等比中项，则圆锥曲线+y2=1的离心率为　(　　)
A. B. C.或 D.或7
【解析】选C.因为4，m，9成等比数列，所以m2=36，所以m=±6.当m=6时，圆锥曲线方程为+y2=1，其离心率为；当m=-6时，圆锥曲线方程为y2-=1，其离心率为.
【补偿训练】两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a>b，则双曲线-=1的离心率为________.
【解析】因为两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a>b，
所以解得a=5，b=4，
所以双曲线方程为-=1，
所以c==，
所以双曲线-=1的离心率e==.
答案：
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·广州高二检测)若双曲线-=1的离心率为，则其渐近线的斜率为________.
【解析】双曲线的离心率e====，所以=，其渐近线的方程为y=±x，其斜率为±.
答案：±
4.(2015·郑州高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_____.
【解题指南】利用双曲线方程和直线方程求出B点的坐标，可得三角形的高.
【解析】双曲线-=1的右顶点为A(3，0)，右焦点为F(5，0)(由于两渐近线关于x轴对称，因此设与任何一条渐近线平行的直线均可)，
一条渐近线为y=-x，
则BF所在直线为y=-(x-5)，
由得B，
所以S△AFB=·|AF|·|yB|=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·青岛高二检测)已知F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，求C2的离心率.
【解析】设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0，b>0)，|AF1|=m，|AF2|=n，
因为A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，所以m+n=4，n-m=2a，所以m=2-a，n=2+a.因为四边形AF1BF2为矩形，所以AF1⊥AF2.因为|F1F2|=2，所以m2+n2=12，即8+2a2=12，所以a=，所以e===.
6.(2015·衡阳高二检测)过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F(2，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P，且·=-6，求双曲线的方程.
【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y=x，
则过F且与其垂直的直线方程为y=-(x-2).
由
可得点P的坐标为.
所以=，
·=(2，0)·=-6.
解得a2=2，所以b2=c2-a2=(2)2-2=6，
所以双曲线方程为-=1.
【一题多解】设双曲线的一条渐近线方程为y=x，
因为点P在双曲线的渐近线上，故设其坐标为
所以=，=(2，0).
由·=-6得2(x-2)=-6，即x=.
又由·=0，得x(x-2)+=0，
代入x=，得=3.
而a2+b2=(2)2=8，
所以a2=2，b2=6.
所以双曲线方程为-=1.
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