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课时提升作业(十)
函数的单调性
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1A.一定是增函数　 B.一定是减函数
C.可能是常数函数 D.单调性不能确定
【解析】选D.由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.
【误区警示】本题易错选A,原因是对增函数概念理解不到位,用特殊值代替一般值,因而是错误的.
2.(2015·昆明高一检测)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是　(　　)
A.y=|x|　 B.y=3-x
C.y=　 D.y=-x2+4
【解析】选A.B在R上为减函数;C在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.
【补偿训练】下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是　(　　)
①y=-x+1;②y=-;③y=x2-4x+5;④y=.
A.①　　　 B.②　　 C.③　　 D.④
【解析】选B.结合函数的图象可知②在区间(0,2)上为增函数,而①③④在区间(0,2)上均为减函数.
3.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+4)的递增区间是　(　　)
A.(2,7) B.(-2,3)
C.(-6,-1) D.(0,5)
【解析】选C.函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到,
因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,
所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).
4.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是　(　　)
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)D.>0
【解析】选C.由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x15.(2015·荆门高一检测)函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　(　　)
A.[6,+∞) B.(6,+∞) C.(-∞,6] D.(-∞,6)
【解析】选C.函数f(x)的对称轴x=a-1,因为函数f(x)在[5,+∞)上是增函数,所以a-1≤5,所以a≤6.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数f(x)=的减区间是　　　　.
【解题指南】本题可先作出函数图象,由图象观察减区间.
【解析】函数f(x)的图象如图所示.则减区间是(0,1].
答案:(0,1]
7.(2015·益阳高一检测)设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是　　　　　　.
【解析】由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).
答案:f(-3)>f(-π)
8.(2015·呼和浩特高一检测)已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2答案:(-3,0)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.
【解题指南】根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点或最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间.
【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象.
由图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的.
由图(2)可知,在和内,y=g(x)是单调递增的.
10.(2015·烟台高一检测)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.
【解析】(1)由x2-1≠0,得x≠±1,
所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1}.
(2)函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.
证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-
=.
因为x2>x1>1,所以-1>0,-1>0,x2-x1>0,x2+x1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-2]时是减函数,x∈[-2,+∞)时是增函数,则f(1)等于　(　　)
A.-3　　　　 B.13
C.7　　　　　　 D.由m而定的常数
【解析】选B.由题意知=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13.
2.(2015·开封高一检测)设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则　(　　)
A.f(a)>f(2a)　　　 B.f(a2)C.f(a2+a)【解析】选D.因为a2+1-a=+>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在
(-∞,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·南宁高一检测)函数y=在(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围是　　　　.
【解析】因为y==1-,所以函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使函数在(-2,+∞)上为增函数,只要-2≥-a,即a≥2.
答案:a≥2
【拓展延伸】单调性中的参数问题
(1)根据函数的单调性研究参数的取值范围问题,往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式,此时常需要将含参数的变量单独移到一侧,用变量的范围来推出参数的范围.
(2)含参数的问题经常需分类讨论,要求有很强的观察力,同时要特别注意定义域的限制.
4.(2015·三明高一检测)f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)【解析】依题意,得不等式组解得答案:
【误区警示】解答本题时易忽视函数定义域而出错.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).
求证:函数F(x)在R上是单调增函数.
【证明】任取x1,x2∈R,且x1因为函数f(x)是R上的单调增函数,
所以f(x1)f(2-x2),
即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,
所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+
[f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)所以函数F(x)在R上是单调增函数.
6.(2015·延边高一检测)定义在R上的函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2对任意m,n∈R恒成立.当x>0时,f(x)>2.
(1)证明f(x)在R上是增函数.
(2)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(t-1)≤8.
【解析】(1)对任意x1,x2∈R,且x10,所以f(x2-x1)>2,f(x1)-
f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=2-f(x2-x1)<0,所以f(x1)(2)因为f(1)=5,所以f(2)=f(1)+f(1)-2=8,
由f(t-1)≤8得f(t-1)≤f(2).
因为f(x)在R上为增函数,所以t-1≤2,即t≤3,
故不等式的解集为{t|t≤3}.
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