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单元质量评估(三)
(第三章)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.已知点A(1，)，B(-1，3)，则直线AB的倾斜角是　(　　)
A.60°　　　B.30°　　　C.120°　　　D.150°
【解析】选C.直线AB的斜率为=-，则直线AB的倾斜角是120°.
2.(2016·兰州高一检测)直线-=1在y轴上的截距为　(　　)
A.|b|                            B.-b2
C.b2                            D.±b
【解析】选B.令x=0，则y=-b2.
【误区警示】解答本题易出现选C的错误，出现这种错误的原因是对直线截距的定义理解不准确.
3.过点P(-1，3)，且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为　(　　)
A.2x+y-1=0                    B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0                    D.x-2y+7=0
【解析】选A.根据垂直关系可知k=-2，所以y-3=-2(x+1)，即2x+y-1=0.

【延伸探究】本题中条件“垂直于直线x-2y+3=0”若换为“平行于直线x-2y+3=0”，其他条件不变，其结论又如何呢？
【解析】选D.设所求直线方程为x-2y+m=0，
因为直线过P(-1，3)，
故-1-6+m=0，
所以m=7，
即所求直线方程为x-2y+7=0.
4.(2016·武汉高一检测)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为　(　　)
A.0                B.-8                    C.2                D.10
【解析】选B.kAB==-2，
所以m=-8.
因为B(-8，4)不在直线2x+y-1=0上，
所以m=-8符合题意.
5.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则a的值为　(　　)
A.-3                B.-6
C.                    D.
【解析】选B.由题意得a·(-1)-2×3=0，
所以a=-6.
【补偿训练】直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0垂直，则m的值为　
(　　)
A.　                B.-　                C.或-　            D.-或-
【解析】选B.因为l1⊥l2，所以2m+3(m+1)=0，所以m=-.
6.(2016·长沙高一检测)直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有　(　　)
A.k=-，b=3                        B.k=-，b=-2
C.k=-，b=-3                        D.k=，b=2
【解析】选C.直线方程一般式化成斜截式，3x+2y+6=0可化为y=-x-3，所以k=-，b=-3.
7.(2016·成都高一检测)点A(1，3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2，1)，则直线y=kx+b在x轴上的截距是　(　　)
A.-                B.                C.-                D.
【解析】选D.由题意知解得k=-，b=，所以直线方程为y=-x+，其在x轴上的截距为.
8.(2016·许昌高一检测)直线x+2y-5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于　(　　)
A.0                                B.-20
C.0或-20                            D.0或-10
【解析】选C.直线2x+4y+a=0可化为x+2y+=0，
由题意得：=，即a=0或a=-20..Com]
9.实数x，y满足方程x+y-4=0，则x2+y2的最小值为　 (　　)
A.4                B.6            C.8                D.12
【解析】选C.令t=x2+y2，则t表示直线上的点到原点距离的平方，所以tmin=8.
10.(2015·郑州高一检测)已知两点A(3，2)和B(-1，4)到直线mx+y+3=0的距离相等，则m的值等于　(　　)
A.0或-                    B.或-6
C.-或                    D.0或
【解析】选B.依题意得=，所以|3m+5|=|m-7|，所以3m+5=m-7或3m+5=7-m，所以m=-6或m=.
11.设△ABC的一个顶点是A(3， -1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程为　(　　)
A.y=2x+5                    B.y=2x+3
C.y=3x+5                    D.y=-x+
【解题指南】分别求出点A关于∠B，∠C的平分线的对称点坐标，再利用角平分线的性质及两点式得BC的方程.
【解析】选A.点A(3，-1)关于直线x=0，y=x的对称点分别为A′(-3，-1)，
A″(-1，3)，由角平分线的性质知，点A′和点A″都在直线BC上，故得直线BC的方程为y=2x+5.
12.已知直线y=x+3k-2与y=-x+1的交点在第一象限，则k的取值范围是　
(　　)
A.                    B.
C.(0，1)                        D.
【解析】选A.由方程组
解得
所以直线y=x+3k-2与直线y=-x+1的交点坐标为.
要使交点在第一象限，则
解得-<k<1.
所以k的取值范围是.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2016·北京高一检测)若直线m被两平行线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；
④60°；⑤75°，其中正确答案的序号是__________.(写出所有正确答案的序号)
【解析】两平行线间的距离为d==.

由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.
答案：①⑤
14.过点P(3，4)在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________.
【解析】当直线过原点时设y=kx，因为3k=4，故k=，即y=x.当直线不过原点时设+=1，因为+=1，故a=7，即x+y-7=0.
答案：y=x或x+y-7=0
15.若直线ax+by+16=0与x-2y=0平行，并过直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交点，则a=________，b=________.
【解析】若直线ax+by+16=0与直线x-2y=0平行，则a=-.　①
由得
因为点(4，-2)在直线ax+by+16=0上，
所以4a-2b+16=0，　②
由①②可解得a=-2，b=4.
答案：-2　4
16.不论a为何实数，直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过第__________象限.
【解析】直线方程可变形为：(3x-y+7)+a(x+2y)=0，
由得
所以直线过定点(-2，1).因此直线必定过第二象限.
答案：二
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知直线y=x-1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点M(2，-1)，求l的方程.
【解析】因为已知直线的斜率为，即tanα=，
所以α=30°，所以直线l的斜率为k=tan2α=tan60°=.
又l过点(2，-1)，
所以l的方程为y-(-1)=(x-2).
即x-y-2-1=0.
18.(12分)已知三角形的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3).求：
(1)AB边上的中线CM所在直线的方程.
(2)△ABC的面积.
【解析】(1)由题意有M(1，1)，CM所在直线的方程为2x+3y-5=0.
(2)点A到CM所在直线的距离为d=，|CM|=，
所以S△ABC=2S△ACM=d·|CM|=11.
【补偿训练】如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x-y-2=0，点C(2，0).

(1)求直线CD的方程.
(2)求AB边上的高CE所在直线的方程.
【解析】(1)因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD.
所以kCD=kAB=2..Com]
所以直线CD的方程为y=2(x-2)，
即2x-y-4=0.
(2)因为CE⊥AB，
所以kCE=-=-.
所以直线CE的方程为y=-(x-2)，
即x+2y-2=0.
19.(12分)已知直线l1：x+2y+1=0，l2：-2x+y+2=0，它们相交于点A.
(1)判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由.
(2)求过点A且与直线l3：3x+y+4=0平行的直线方程.
【解析】(1)垂直.直线l1的斜率k1=-，直线l2的斜率k2=2，
因为k1k2=-×2=-1，
所以l1⊥l2.
(2)由方程组
解得点A的坐标为，
直线l3的斜率为-3，
所以所求直线方程为：y-=-3，化为一般式得：3x+y-1=0.
20.(12分)已知直线l1：ax+by+1=0(a，b不同时为0)，l2：(a-2)x+y+a=0，
(1)若b=0，且l1⊥l2，求实数a的值.
(2)当b=3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离.
【解析】(1)当b=0时，l1：ax+1=0，由l1⊥l2，知a-2=0，解得a=2.
(2)当b=3时，l1：ax+3y+1=0，
当l1∥l2时，有解得a=3，
此时，l1的方程为3x+3y+1=0，
l2的方程为x+y+3=0，
即3x+3y+9=0，
则它们之间的距离为d==.
21.(12分)(2016·德州高一检测)已知A(4，-3)，B(2，-1)和直线l：4x+3y-2=0，求一点P，使|PA|=|PB|，且点P到直线l的距离等于2.
【解题指南】解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA|=|PB|”和“到直线的距离为2”，列方程求解；二是几何法，利用点P在AB的垂直平分线上及距离为2求解.
【解析】方法一：设点P(x，y).
因为|PA|=|PB|，
所以=.①
又点P到直线l的距离等于2，
所以=2.②
由①②联立方程组，
解得点P(1，-4)或点P.
方法二：设点P(x，y).
因为|PA|=|PB|，
所以点P在线段AB的垂直平分线上，
由题意知kAB=-1，线段AB的中点为(3，-2)，
所以线段AB的垂直平分线的方程是y=x-5.
所以设点P(x，x-5)，
因为点P到直线l的距离等于2，
所以=2.
解得x=1或x=.
所以点P(1，-4)或点P.
22.(12分)已知A-，0，B0，-，其中k≠0且k≠±1，直线l经过点P(1，0)和AB的中点.
(1)求证：A，B关于直线l对称.
(2)当1<k<时，求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
【解析】(1)因为直线l经过AB的中点，
所以只需再证AB⊥l即可.
因为A-，0，B0，-，
所以AB的中点为-，-.
kAB==-k，kl==，
所以kAB·kl=(-k)·=-1，
所以AB⊥l，
所以A，B关于直线l对称.
(2)kl=，所以直线l方程为y=(x-1)，其在y轴的截距b=-，
因为y=-在(0，+∞)上是单调增函数，
所以1<k<时，
-1<-<-即-1<b<-.
所以直线l在y轴上的截距b的取值范围是-1，-.
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