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课时提升作业 十四
双曲线方程及性质的应用
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是　(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为F1(-,0),F2(,0),-=1,
所以·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=+-3<0,
即3-1<0,解得-2.(2016·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则这样的直线l的条数为　(　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.
【补偿训练】过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有　(　　)
A.一条　　　 B.两条 C.三条 D.四条
【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,所以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.
3.(2016·泉州高二检测)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是　(　　)
A.x+y=5 B.x2+y2=9
C.+=1 D.x2=16y
【解析】选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为-=1(x≥4),A:直线x+y=5过点(5,0)满足题意;B:x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C:+=1的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以y=3,满足题意.
4.(2016·青岛高二检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.右顶点为A(a,0),
则直线方程为x+y-a=0,
可求得直线与两渐近线的交点坐标B,C,则=,
=.
又2=,所以2a=b,所以e=.
【补偿训练】已知F1, F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点.若△ABF2为直角三角形,则双曲线的离心率为　(　　)
A.1+ B.1±
C. D.±1
【解析】选A.因为△ABF2是直角三角形,
所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|,=2c.
所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,
所以e2-2e-1=0.
解得e=1±.又e>1,所以e=1+.
5.(2016·沈阳高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为　(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.
【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为　　　　　　.
【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标是(±,0),离心率是.故在双曲线中c=,e==,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是-=1.
答案:-=1
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线C于A,B两点.若=4,则双曲线C的离心率为　　　　.
【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由
得(b2-3a2)y2+2b2cy+3b4=0,
因为b2-3a2≠0,
所以y1+y2=,y1y2=,
由=4得y1=-4y2,
所以-3y2=,-4=,
所以y2=,
代入-4=,得
16c2=27a2-9b2,又b2=c2-a2,
所以16c2=27a2-9c2+9a2,
所以36a2=25c2,所以e2=,
所以e=.
答案:
8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是　　　.
【解析】由
消去y得x2-2mx-m2-2=0.
Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,
所以线段AB的中点坐标为(m,2m),
又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,
所以5m2=5,所以m=±1.
答案:±1
【补偿训练】双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为　　　　.
【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),所以a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又PF1⊥PF2.
所以△PF1F2为直角三角形.
即m2+n2=(2c)2=100.
由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,
所以2mn=m2+n2-36=64,mn=32.
设点P到x轴的距离为d,
=d|F1F2|=|PF1|·|PF2|,
即d·2c=mn.所以d===3.2,
即点P到x轴的距离为3.2.
答案:3.2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||,||,||成等差数列,且与同向.
(1)求双曲线的离心率.
(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
【解析】(1)设OA=m-d,AB=m,OB=m+d,双曲线方程为-=1.
由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,
得d=m,tan∠AOF=,
tan∠AOB=tan2∠AOF==.
由倍角公式得=,
解得=,则离心率e=.
(2)直线AB的方程为y=-(x-c),与双曲线方程-=1联立消y并将a=2b,c=b代入,
化简有x2-x+21=0.
x1+x2=,x1·x2=,
设交点A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则|AB|=|x1-x2|
==4,
将数值代入,得4=,
解得b=3,故所求的双曲线方程为-=1.
10.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.
(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值.
(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=x对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由消去y得,
(3-a2)x2-2ax-2=0.　　①
依题意
即-设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB.
所以x1x2+y1y2=0,y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,
由③④知(a2+1)·+a·+1=0.
解得a=±1且满足②.
所以实数a的值为±1.
(2)假设存在实数a,使A,B关于y=x对称,
则直线y=ax+1与y=x垂直,所以a=-2.
直线l的方程为y=-2x+1.
将a=-2代入③得x1+x2=4.
所以AB中点横坐标为2,
纵坐标为y=-2×2+1=-3.
但AB中点(2,-3)不在直线y=x上.
即不存在实数a,使A,B关于直线y=x对称.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·郑州高二检测)直线y=x与双曲线C:-=1(a>0,b>0)左右两支分别交于M,N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若||=||,则双曲线的离心率等于　(　　)
A.+ B.+1
C.+1 D.2
【解析】选B.由题知|MO|=|NO|=|FO|,
所以△MFN为直角三角形,且∠MFN=90°,
取左焦点为F0,连结NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形NFMF0为平行四边形.
又因为∠MFN=90°,所以四边形NFMF0为矩形,
所以|MN|=|F0F|=2c,
又因为直线MN的倾斜角为60°,即∠NOF=60°,
所以∠NMF=30°,
所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=c,
由双曲线定义知|MF|-|MF0|=c-c=2a,
所以e==+1.
【补偿训练】过双曲线M:x2-=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l.若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且B是AC的中点,则双曲线M的离心率为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意可知A(-1,0),故直线l的方程为y=x+1.两条渐近线方程为y=±bx,由已知联立得B,同理可得C,又B是AC的中点,故2×=0+,解得b=3.故c==.
所以e==.
2.(2016·黄冈高二检测)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是　(　　)
①y=x+1;　 ②y=2;　 ③y=x;　 ④y=2x+1.
A.①③ B.③④ C.②③ D.①②
【解析】选D.因为|PM|-|PN|=6,所以点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即-=1(x>0).
对于①,联立消y得7x2-18x-153=0,因为Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,所以y=x+1是“单曲型直线”.对于②,联立消y得x2=,所以y=2是“单曲型直线”.
对于③,联立整理得0=1,不成立,所以y=x不是“单曲型直线”.
对于④,联立消y得20x2+36x+153=0,因为Δ=362-4×20×153<0,所以y=2x+1不是“单曲型直线”.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·福州高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为　　　　　.
【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可得BF的方程为y=±(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B的坐标,即可算出△AFB的面积.
【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,
所以c==5,且A(3,0),F(5,0).
因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.
所以直线BF的方程为y=±(x-5).
①若直线BF的方程为y=(x-5),
与渐近线y=-x交于点B,
此时S△AFB=|AF|·|yB|=×2×=;
②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.
此时S△AFB=|AF|·|yB|=×2×=.
因此,△AFB的面积为.
答案:
4.(2016·浙江高考)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　.
【解析】由已知a=1,b=,c=2,则e==2,设P(x,y)是双曲线上任意一点,由对称性不妨设P在右支上,则1∠F1PF2为锐角,则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>,
所以答案:(2,8)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·南昌高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0).如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足||,||,||成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.
(1)求证:·=·.
(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范围.
【解析】(1)双曲线的渐近线为y=±x,F(c,0),
所以直线l的斜率为-,
所以直线l:y=-(x-c).
由得P,
因为||,||,||成等比数列,
所以xA·c=a2,所以xA=,
A,=,=,
=
所以·=-,·=-,
则·=·.
(2)由得,
x2+2cx-=0,
x1x2=,
因为点E,D分别在左右两支上,所以<0,所以b2>a2,所以e2>2,所以e>.
6.(2016·哈尔滨高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是.
(1)求双曲线的方程及渐近线方程.
(2)若直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.
【解析】(1)直线AB的方程为+=1,即bx-ay-ab=0.又原点O到直线AB的距离=⇒ab=c,
由得
所求双曲线方程为-y2=1,
渐近线方程为y=±x.
(2)由(1)可知A(0,-1),设C(x1,y1),D(x2,y2),
由|AC|=|AD|得:
所以3+3+(y1+1)2=3+3+(y2+1)2,
整理得:(y1-y2)=0,
因为k≠0,所以y1≠y2,所以y1+y2=-,
又由⇒
(1-3k2)y2-10y+25-3k2=0,
所以y1+y2==-,得k2=7,
由Δ=100-4(1-3k2)(25-3k2)>0⇒0【一题多解】
(2)由⇒(1-3k2)x2-30kx-78=0,
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点M(x0,y0),
因为|AC|=|AD|,所以M在CD的中垂线AM上,
因为
lAM:y+1=-x,所以+1=-·,
整理得k2=7,解得k=±.(k2=7满足1-3k2≠0且Δ>0).
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