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课时提升作业(二十一)
习题课——对数函数及其性质的应用
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·通化高一检测)已知f=log3x,则f,f,f(2)的大小是　(　　)
A.f>f>f(2)
B.fC.f>f(2)>f
D.f(2)>f>f
【解析】选B.由函数f=log3x在(0,+∞)是单调增函数,且<<2,知f()【补偿训练】若loga2A.0C.a>b>1 D.b>a>1
【解析】选B.loga2所以02.函数y=2+log2x(x≥1)的值域为　(　　)
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.[3,+∞)
【解析】选C.设y=2+t,t=log2x(x≥1),因为t=log2x在[1,+∞)上是单调增函数,所以t≥log21=0.所以y=2+log2x(x≥1)的值域为[2,+∞).
【补偿训练】函数y=lox,x∈(0,8]的值域是(　　)
A.[-3,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,-3] D.(-∞,3]
【解析】选A.因为03.不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的解集为　(　　)
A.(-∞,3) B.
C. D.
【解析】选D.原不等式等价于解得4.(2015·济南高一检测)函数f(x)=lg是　(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
【解析】选A.因为f(-x)=lg
=lg=lg
=lg=-lg=-f(x),
所以f(-x)=-f(x),
又函数的定义域为R,故该函数为奇函数.
5.设a=log32,b=log52,c=log23,则　(　　)
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
【解析】选D.因为log32=<1,log52=<1,
又log23>1,所以c最大.
又1,
即a>b,所以c>a>b.
【补偿训练】设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则　(　　)
A.aC.a【解析】选D.a=log54<1,log53b=(log53)21,故b二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·淮阴高一检测)若函数y=log3x的定义域是[1,27],则值域是　　　　.
【解析】因为1≤x≤27,所以log31≤log3x≤log327=3.所以值域为[0,3].
答案:[0,3]
【延伸探究】若将本题中的函数“y=log3x”改为“y=lox”,其他不变,又如何求解?
【解析】由于函数y=lox在其定义域内是单调递减的,1≤x≤27,故lo27≤lox≤lo1,即-3≤lox≤0,所以函数的值域为[-3,0].
7.(2015·鹰潭高一检测)已知实数a,b满足loa=lob,下列五个关系式:①a>b>1,②0a>1,④0【解析】当a=b=1或a=,b=或a=2,b=3时,都有loa=lob.故②③⑤均可能成立.
答案:②③⑤
【补偿训练】设a=log58,b=log25,c=0.30.8,将a,b,c这三个数按从小到大的顺序排列　　　　　(用“<”连接).
【解析】1=log55log24=2,c=0.30.8<0.30=1,所以c答案:c8.(2015·石家庄高一检测)loga<1,则a的取值范围是　　　　　　.
【解析】①当a>1时,loga<0,故满足loga<1;
②当00,
所以loga综上①②,a∈∪(1,+∞).
答案:∪(1,+∞)
【补偿训练】已知loga<1,则a的取值范围是　　　　　.
【解析】loga当a>1时,可得a>,所以a>1;
当0综上,a的取值范围是a>1或0答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.比较下列各组值的大小.
(1)log3π,log20.8.
(2)1.10.9,log1.10.9,log0.70.8.
(3)log53,log63,log73.
【解析】(1)因为log3π>log31=0,log20.8所以log3π>log20.8.
(2)因为1.10.9>1.10=1,log1.10.90=log0.71所以1.10.9>log0.70.8>log1.10.9.
(3)因为0所以log53>log63>log73.
10.(2015·武汉高一检测)已知函数f(x)=+的定义域
为A.
(1)求集合A.
(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.
【解析】(1)所以
所以≤x≤4,所以集合A=.
(2)设t=log2x,因为x∈,所以t∈[-1,2],
所以y=t2-2t-1,t∈[-1,2].
因为y=t2-2t-1的对称轴为t=1∈[-1,2],
所以当t=1时,y有最小值-2.
所以当t=-1时,y有最大值2.
所以当x=2时,g(x)的最小值为-2.
当x=时,g(x)的最大值为2.
【补偿训练】已知函数y=(log2x-2)log4x-,2≤x≤8.
(1)令t=log2x,求y关于t的函数关系式,并写出t的范围.
(2)求该函数的值域.
【解题指南】利用换元,把对数运算转化为二次函数问题,然后借助单调性求值域.
【解析】(1)y=(log2x-2)
=(log2x-2),
t=log2x,得y=(t-2)(t-1)=t2-t+1,
又2≤x≤8,
所以1=log22≤log2x≤log28=3,即1≤t≤3.
(2)由(1)得y=-,
1≤t≤3,结合二次函数图象可得,
当t=时,ymin=-;
当t=3时,ymax=1,所以-≤y≤1,
即函数的值域为.
【拓展延伸】求函数y=logaf值域的方法
(1)先令u=f(x),并求f(x)的值域.
(2)结合u>0,求出u的取值范围,不妨设为[m,n](m>0).
(3)①若a>1,则函数y=logaf(x)的值域为;
②若0(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为
　(　　)
A. B. C.2 D.4
【解析】选B.无论a>1还是02.若loga=loga,且|logba|=-logba,则a,b满足的关系式是　(　　)
A.a>1,且b>1 B.a>1,且0C.01 D.0【解析】选C.因为loga=loga,
所以loga>0,所以0因为|logba|=-logba,所以logba<0,b>1.
【拓展延伸】对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1时,logab>0;
当00;
当a>1且0当01时,logab<0.
此规律可以总结为“同正异负”.
【补偿训练】设函数f(x)的定义域为实数集R,f(2-x)=f(x),且当x≥1时,f(x)=lnx,则有(　　)
A.fB.fC.fD.f(2)【解析】选C.由f(2-x)=f(x)得x=1是函数f(x)的一条对称轴,
又x≥1时,f(x)=lnx单调递增,所以x<1时,函数单调递减.又f(2)=f(0),所以f二、填空题(每小题5分,共10分)
3.不等式<的解集是　　　　.
【解析】因为<=x-1,且x>0.
①当0-1,
所以x<2,
所以0②当x>1时,由原不等式可得,lox<-1,
x>2,
综上可得,不等式的解集为{x|02}.
答案:(0,1)∪(2,+∞)
【补偿训练】(1)求满足不等式log3x<1的x的取值范围.
(2)若loga<1,求a的取值范围.
【解题指南】将常数1转化为对数式的形式,构造对数函数,利用对数函数的单调性求解,注意分类讨论.
【解析】(1)因为log3x<1=log33,所以x满足的条件为即0所以x的取值范围为{x|0(2)loga<1,即loga1时,函数y=logax在定义域内是增函数,所以loga故01.
【误区警示】解对数不等式时,要防止定义域扩大,应在解的过程中加上限制条件,使定义域保持不变,即进行同解变形.若非同解变形,最后一定要检验.
4.(2015·襄阳高一检测)函数y=log0.8(-x2+4x)的递减区间是　　　　.
【解析】因为t=-x2+4x的递增区间为(-∞,2].但当x≤0时,t≤0.故只能取(0,2],即为f(x)的递减区间.
答案:(0,2]
【补偿训练】函数y=lo(-x2+4x+12)(-2【解题指南】首先令u=-x2+4x+12,然后利用复合函数的单调性求解.
【解析】令u=-x2+4x+12,则y=lou,
又y=lou为减函数,且-2故函数y=lo(-x2+4x+12)(-2答案:(-2,2]
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·郑州高一检测)已知函数f=log2(2+x2).
(1)判断f的奇偶性.
(2)求函数f的值域.
【解题指南】(1)先确定出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义去判定.
(2)先确定出2+x2的范围,再利用函数f(x)=log2x的单调性求值域.
【解析】(1)因为2+x2>0对任意x∈R都成立,
所以函数f=log2(2+x2)的定义域是R.
因为f(-x)=log2[2+(-x)2]=log2(2+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.
(2)由x∈R得2+x2≥2,所以log2(2+x2)≥log22=1,即函数f=log2(2+x2)的值域为[1,+∞).
6.(2015·岳阳高一检测)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.
【解题指南】(1)要使函数有意义,需每一个真数都大于零.
(2)将函数式化简,转化成复合函数,利用其单调性求解.
【解析】(1)要使函数有意义,则有解之得-3(2)函数可化为:f(x)=loga[(1-x)(x+3)]
=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4],
因为-3因为0即f(x)min=loga4,由loga4=-4得a-4=4,
所以a==.
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