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单元质量评估(二)
第二章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是　(　　)
A.k>3 B.2C.k=2 D.0【解析】选C. k>0,=,所以k=2.
2.(2016·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为　(　　)
A.x2-y2=1 B.y2-x2=1
C.x2-y2=2 D.y2-x2=2
【解析】选D.由题意设双曲线方程为-=1,离心率为e,椭圆x2+=1长轴端点为(0,),所以a=,又椭圆的离心率为,所以双曲线的离心率为,所以c=2,b=,则双曲线的方程为y2-x2=2.
3.(2016·浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则　(　　)
A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1
C.m1 D.m【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a2,b2与c2的关系.
【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1,即m2=n2+2,(e1e2)2=·=
,因为m2=n2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>1.
4.(2016·潍坊高二检测)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为　(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选B.因为y2=8x的焦点为(2,0),
所以+=1的右焦点为(2,0),所以m>n且c=2.
又e==,所以m=4.
因为c2=m2-n2=4,所以n2=12.
所以椭圆方程为+=1.
【补偿训练】(2016·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是　(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程-=1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN中点的横坐标建立a,b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a,b的一个方程,最后解a,b的方程组即得双曲线方程.
【解析】选B.设双曲线方程为-=1,
将y=x-1代入-=1,
整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,
由根与系数的关系得x1+x2=,
则==-.
又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,
所以双曲线的方程为-=1.
5.P是长轴在x轴上的椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是　(　　)
A.1 B.a2 C.b2 D. c2
【解析】选D.由椭圆的几何性质得
|PF1|∈,
|PF1|+|PF2|=2a,
所以|PF1|·|PF2|≤=a2,
当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.
|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)
=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2
≥-c2+a2=b2,
所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.
6.(2016·天津高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,
△AOB的面积为,则p=　(　　)
A.1 B.
C.2 D.3
【解析】选C.因为e=2,所以b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,不妨设A=,B,则AB=p,又三角形的高为,则S△AOB=××p=,即p2=4,又因为p>0,所以p=2.
7.(2016·东营高二检测)已知点P是抛物线y2=-8x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是　(　　)
A. B.2
C.6 D.3
【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由点F向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P时,d1+d2取到最小值,即=6.
8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于　(　　)
A.2或-1 B.-1
C.2 D.1±
【解析】选C.由消去y得,
k2x2-4(k+2)x+4=0,
故Δ=2-4k2×4=64(1+k)>0,
解得k>-1,由x1+x2==4,
解得k=-1或k=2,又因为k>-1,故k=2.
【易错警示】本题易忽略Δ>0而错选A.
9.(2016·邯郸高二检测)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为　(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
【解析】选A.由题意得解得
所以a==,
因此双曲线的方程为-y2=1,
所以渐近线方程为y=±x.
10.(2015·福建高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是　(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=b≥⇒b≥1,所以e==≤=,
又e∈(0,1),所以e∈.
11.(2016·哈尔滨高二检测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程
为　(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选D.设A点坐标为(x1,y1),
B点坐标为(x2,y2),
所以两式相减得,=,
即=,
因为x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k==,
又因为k==,所以=,
又因为c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,
所以b2=9,a2=18,
即E的标准方程为+=1.
12.(2016·宝鸡高二检测)设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为　(　　)
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
【解析】选C.由已知得F,A(0,2),M,
因为AF⊥AM,所以kAF·kAM=-1,
即×=-1,
所以-8y0+16=0,所以y0=4,所以M,
因为|MF|=5,所以5=,
所以=9.
所以-=3或-=-3,
所以9p2-36p-64=0,①
或9p2+36p-64=0,②
由①得p=-(舍),p=.
由②得p=,p=-,
所以C的方程为y2=4x或y2=16x.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.椭圆mx2+ny2=1与直线l:x+y=1交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线斜率为,则=　　　　.
【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),
所以m+n=1　①
m+n=1　②
又因为=-1,所以①-②得:m=n·,
因为==,
所以m=n,所以=.
答案:
14.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围为　　　　.
【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.
由m>0,5k2≥0,知m+5k2>0,故
Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0对k∈R恒成立.
即5k2≥1-m对k∈R恒成立,故
1-m≤0,所以m≥1.
又因为m≠5,所以m的取值范围是m≥1且m≠5.
答案:m≥1且m≠5
【易错警示】本题易忽略隐含条件m≠5而出错.
15.(2015·山东高考)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为　　　　　.
【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c的关系,进而求出离心率e.
【解析】将y=(x-c)代入-=1消去y得-=1,因为xP=2a所以-=1,
化简得3a2=(2a-c)2,即a=c-2a,
所以e=2+.
答案:2+
【补偿训练】(2016·济宁高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围
为　(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,
所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c,
因为e=,016.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是　　　　　.
【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.
【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为P,求抛物线方程和双曲线方程.
【解析】依题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),
因为点在抛物线上,所以6=2p×,
所以p=2,所以所求抛物线方程为y2=4x.
因为双曲线左焦点在抛物线的准线x=-1上,
所以c=1,即a2+b2=1,
又点在双曲线上,所以-=1,
由
解得a2=,b2=.
所以所求双曲线方程为4x2-y2=1.
【补偿训练】若已知椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.
【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得
10-m=1+b,即m=9-b,①
又因为点P在椭圆、双曲线上,所以
y2=m,②
y2=.③
解由①②③组成的方程组得m=1,b=8,
所以椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1.
18.(12分)求以直线x+2y=0为渐近线,且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线的标准方程.
【解析】由于双曲线的渐近线方程为x+2y=0,故可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
设直线x-y-3=0与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程组消去y,
整理得3x2-24x+36+λ=0.
由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12.
由根与系数关系可得
代入弦长公式中,
|AB|=|x1-x2|=·
=·=,
于是=,解得λ=4(与λ<12符合).
故所求的双曲线的标准方程为-y2=1.
19.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程.
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
【解析】(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由p=4,方程4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,
从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,
从而A(1,-2),B(4,4).
设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)
=(4λ+1,4λ-2),
又=8x3,即2=8(4λ+1),
即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求:
(1)椭圆的方程.
(2)△PF1F2的面积.
【解析】(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2,
所以·=-1,即·=-1,
解得c=5,所以设椭圆方程为+=1.
因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1.
解得a2=45或a2=5.
又因为a>c,所以a2=5(舍去).
故所求椭圆方程为+=1.
(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,①
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②
①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,
所以=|PF1|·|PF2|=20.
【补偿训练】已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,
得(-2)2=2p·1,所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,
其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
另一方面,由直线OA到l的距离d=,
可得=,解得t=±1.
因为-1∉,1∈,
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.
【解析】(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),
则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.
由e===.
得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),
代入方程+y2=1,
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),
=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
因为=m,=n,
所以m=,n=,
所以m+n=,
又2x1x2-2(x1+x2)=
=-,
4-2(x1+x2)+x1x2
=4-+=,
所以m+n=10.
22.(12分)(2016·北京高考)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率.
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.
【解题指南】(1)把A,B两点代入可求得a,b.
(2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.
【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.
因为c==,
所以离心率e==.
(2)设P(x0,y0),其中x0<0,y0<0.
则直线AP方程为y=(x-2),直线BP方程为y=x+1.
所以M,N.
所以|AN|=2+,|BM|=+1.
所以四边形ABNM的面积为S=|AN||BM|=
=××=
=.
因为点P在椭圆C上,所以=4-4.代入上式得
S =
==2.
因此,四边形ABNM的面积为定值2.
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