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单元质量评估(四)
(第四章)
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.(2016·平顶山高一检测)圆(x+2)2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为　(　　)
A.(x-2)2+y2=5
B.x2+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5
D.x2+(y+2)2=5
【解析】选A.由题意知所求圆的圆心为(2，0)，半径为，故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.
2.直线l：y=k与圆C：x2+y2=1的位置关系是　(　　)
A.相交或相切                    B.相交或相离
C.相切                            D.相交
【解析】选D.圆C的圆心(0，0)到直线y=k的距离d=，因为d2=<<1，所以位置关系为相交.
【一题多解】选D.直线l：y=k过定点，而点在圆C：x2+y2=1内部，故直线l与圆C相交.
3.(2015·广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是　
(　　)
A.2x-y+=0或2x-y-=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x+y+5=0或2x+y-5=0
【解析】选D.设所求切线方程为2x+y+c=0，依题有=，解得c=±5，所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
4.若直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是　(　　)
A.点P在圆外            B.点P在圆上
C.点P在圆内            D.不能确定
【解析】选A.根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，<2，即a2+b2>4，所以点P(a，b)在圆x2+y2=4的外部.
【延伸探究】若本题条件换为“直线ax+by=4与圆x2+y2=4相切”则结论又如何呢？
【解析】选B.由题意知=2，即a2+b2=4.则点P在圆上..Com]
5.(2016·成都高一检测)圆O1：x2+y2-2x=0与圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是　
(　　)
A.外离                B.相交
C.外切                D.内切
【解析】选B.圆O1(1，0)，r1=1，圆O2(0，2)，r2=2，
|O1O2|==<1+2，且>2-1，故两圆相交.
6.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=　(　　)
A.-                B.-                C.                D.2
【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4,
故圆心为(1,4),d==1,
解得a=-.
7.以点(3，-1)为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是　(　　)
A.(x+3)2+(y-1)2=1
B.(x+3)2+(y-1)2=2
C.(x-3)2+(y+1)2=1
D.(x-3)2+(y+1)2=2
【解析】选C.由已知，r=d==1，故选C.
8.空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)和B(x，-1，6)的距离为，则x的值为　(　　)
A.2                            B.-8
C.2或-8                        D.8或-2
【解析】选C.由空间两点间距离公式得=，解得x=2或-8.
9.(2016·南昌高一检测)直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=　(　　)
A.                            B.2
C.1                            D.3
【解析】选B.依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即=，=1×cos45°=，所以a2=b2=1，故a2+b2=2.
10.(2014·江西高考)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为　(　　)
A.π                            B.π
C.(6-2)π                    D.π
【解题指南】数形结合，找到圆的半径最小时的情况即可.
【解析】选A.由题意得，当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，
此时圆的半径为×=，
圆的面积为S=π=.
11.已知直线l过点(-2，0)，当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是　(　　)
A.(-2，2)                    B.(-，)
C. -，                        D. -，
【解析】选C.易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l的方程是y=k(x+2)，即kx-y+2k=0，根据点到直线的距离公式得<1，即k2<，解得-<k<.
12.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为　
(　　)
A.-1或                        B.1或3
C.-2或6                            D.0或4
【解析】选D.圆的半径r=2，圆心(a，0)到直线x-y-2=0的距离d=，由+()2=22，得a=0或a=4.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2016·武汉高一检测)已知圆M的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点，则圆M的标准方程为______________.
【解析】联立两圆的方程得交点坐标(-1，3)和(-6，-2)；设圆心坐标(a，a-4)，
所以=解得a=，圆心坐标，-，r2=，
方程为x-+y+=.
答案： x-+y+=
14.(2016·全国卷Ⅰ)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为　　　　..Com]
【解析】由圆C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a) 2=a2+2,所以圆心C(0,a),由题意可知=,解得a2=2,所以圆C的面积为π(a2+2)=4π.
答案:4π
15.(2016·石家庄高一检测)集合A={(x，y)|x2+y2=4}，B={(x，y)|(x-3)2+(y-4)2
=r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________.
【解题指南】根据A∩B中有且仅有一个元素，说明两圆相切，注意分外切和内切，分别求r的值.
【解析】因为A∩B中有且仅有一个元素，所以两圆相切.当两圆外切时，2+r=5，即r=3；当两圆内切时，r-2=5，即r=7.所以r的值是3或7.
答案：3或7
16.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆，①关于直线y=x对称；②关于直线x+y=0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是______________.
【解析】将已知方程配方，得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)，圆心坐标为(-a，a)，它在直线x+y=0上，所以已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.
答案：②
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2016·北京高一检测)求经过两点A(-1，4)，B(3，2)且圆心C在y轴上的圆的方程.
【解析】因为AB的中点是(1，3)，kAB==-，
所以AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1)，
即2x-y+1=0.
令x=0，得y=1，
即圆心C(0，1).
所以所求圆的半径为|AC|==.
所以所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.

18.(12分)在三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB=90°，侧棱OO′⊥平面OAB，OA=OB=OO′=2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小.
【解析】如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
由OA=OB=OO′=2，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，O(0，0，0)，A′(2，0，2)，B′(0，2，2)，O′(0，0，2).

由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1，0，1)，
设E点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得
|EC|==，
故当z=1时，|EC|取得最小值为，此时E(0，2，1)为线段BB′的中点.
19.(12分)(2016·大连高一检测)已知圆C：(x-1) 2+y2=9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点.
(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程.
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程.
【解析】(1)已知圆C：(x-1)2+y2=9的圆心为C(1，0)，因直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0.
(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y-2=-(x-2)，即x+2y-6=0.
20.(12分)已知圆O：x2+y2=1与直线l：y=kx+2.
(1)当k=2时，求直线l被圆O截得的弦长.
(2)当直线l与圆O相切时，求k的值.
【解析】(1)当k=2时，直线l的方程为2x-y+2=0.
设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，
过圆心O(0，0)作OD⊥AB于点D，
则|OD|==，
所以|AB|=2|AD|=2=.
(2)当直线l与圆O相切时，即圆心到直线的距离等于圆的半径.
所以=1，即=2，解得k=±.
【一题多解】(1)当k=2时，联立方程组
消去y，得5x2+8x+3=0，
解得x=-1或x=-，代入y=2x+2，得y=0或y=，
设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，
则A(-1，0)和B，
所以|AB|==.
(2)联立方程组
消去y，得(1+k2)x2+4kx+3=0，
当直线l与圆O相切时，即上面关于x的方程只有一个实数根.
则Δ=(4k)2-4×3(1+k2)=0，
即4k2-12=0，k2=3，所以k=±.
21.(12分)(2016·长春高一检测)已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.
(1)写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小.
(2)是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB(O为坐标原点).若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由.
【解题指南】(1)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)得其圆心-，-，半径为，从而可得圆C的标准方程，此题也可以通过配方法直接得到圆C的标准方程，然后再写出其圆心坐标和半径.
(2)首先根据题意设出m的方程，然后与圆的方程联立消y得关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系得到两根的和及积的关系，然后再根据OA⊥OB不难得出关于两根和及积的方程，从而可求直线m的方程.
【解析】(1)根据圆的一般方程结合已知得：D=-2，E=4，F=-4，则
-=-=1，-=-=-2，
==3，
即圆心C的坐标为(1，-2)，半径为3，所以圆C的标准方程为：(x-1)2+(y+2)2=9.
(2)根据题意可设直线m：y=x+b，代入圆的方程得：
2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0，
因为直线与圆相交，所以b2+6b-9<0，
x1+x2=-b-1，x1x2=，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=x1+b，y2=x2+b，由OA⊥OB得：
·=-1⇒=-1⇒(x1+b)(x2+b)+x1x2=0，
2x1x2+b(x1+x2)+b2=0⇒b2+3b-4=0，得b=-4或b=1，
均满足b2+6b-9<0，故所求直线m存在，且方程为y=x-4或y=x+1.
22.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.
(1)求圆的方程.
(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围.
(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2，4)？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z).
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以=5，即|4m-29|=25.因为m为整数，故m=1.故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.
(2)把直线ax-y+5=0即y=ax+5代入圆的方程，消去y整理，得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.
由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0.
即12a2-5a>0，由于a>0，解得a>，所以实数a的取值范围是.
(3)假设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为-，l的方程为y=-(x+2)+4，即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上.
所以1+0+2-4a=0，解得a=.
由于∈，故存在实数a=，使得过点P(-2，4)的直线l垂直平分弦AB.
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