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课时提升作业(十七)
习题课——指数函数及其性质的应用
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·佳木斯高一检测)函数f(x)=ax+(a>0且a≠1)是　(　　)
A.奇函数也是偶函数 B.偶函数
C.既非奇函数也非偶函数 D.奇函数
【解析】选B.因为f(-x)=a-x+
=ax+=f(x),故该函数为偶函数.
2.已知函数f(x)=,则函数在(0,+∞)上　(　　)
A.单调递减且无最小值 B.单调递减且有最小值
C.单调递增且无最大值 D.单调递增且有最大值
【解析】选A.由于3x>0,则3x+2>2,0<<,故函数f(x)=在(0,+∞)上既无最大值也无最小值,而y=3x单调递增,故f(x)=在(0,+∞)上单调递减.
3.(2015·烟台高一检测)函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是　(　　)
【解析】选C.若a>1,则y=ax-a应为增函数,且与y轴的交点为(0,1-a),因为a>1,所以1-a<0,即与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确,当y=0时,x=1,即与x轴的交点为(1,0),故选项B不正确.当04.已知f=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是　(　　)
A.a>0 B.a>1 C.a<1 D.0【解析】选D.因为f=a-x=,f(-2)>f(-3),所以>1,解得05.已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2,且g(b)=a,则f(2)的值为　(　　)
A.a2 B.2 C. D.
【解题指南】由奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2,知f(x)+g(x)=ax-a-x+2,g(x)-f(x)=a-x-ax+2,故g(x)=2,f(x)=2x-2-x,由此能够求出f(2).
【解析】选D.因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(x)=g(-x),
因为f(x)+g(x)=ax-a-x+2,①
所以f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2,
所以g(x)-f(x)=a-x-ax+2,②
①+②,得2g(x)=4,所以g(x)=2.
因为g(b)=a,所以a=2.
所以f(x)=2x-2-x+2-g(x)=2x-2-x.
所以f(2)=22-2-2=4-=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.一片树林中现有木材30000m3,如果每年增长5%,经过x年树林中有木材ym3,那么x,y间的函数关系式为　　　　.
【解析】经过1年树林中有木材30000(1+5%)m3,
经过2年树林中有木材30000(1+5%)2m3,
经过x年树林中有木材30000(1+5%)xm3.
故x,y间的函数关系式为y=30000(x∈N*).
答案:y=30000(x≥0)
【补偿训练】一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n年后这批设备的价值为　　　　　　　.
【解析】经过1年后设备的价值为a(1-b%)万元;
经过2年后设备的价值为a(1-b%)2万元;
经过3年后设备的价值为a(1-b%)3万元;
故经过n年后设备的价值为a(1-b%)n万元.
答案:a(1-b%)n(n∈N*)
7.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系是　　　　　　.
【解析】因为函数y=0.8x是R上的单调减函数,所以a>b.又因为a=0.80.7<0.80=1,c=1.20.8>1.20=1,所以c>a.故c>a>b.
答案:c>a>b
【补偿训练】,34,的大小关系为(　　)
A. 34>> B.>34>
C.34>> D.>>34
【解析】选A.因为=,=32,而34>32>,故34>>.
8.已知f(x)=x2,g(x)=-m.若对任意x1∈[-1,3],总存在x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围是　　　　.
【解题指南】由对任意x1∈[-1,3],存在x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),可知f(x)min≥g(x)min,结合二次函数及指数函数的性质可求.
【解析】因为对任意x1∈[-1,3],f(x)min=0,
因为x2∈[0,2],
g(x)=-m∈,
因为对任意x1∈[-1,3],存在x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),
所以f(x)min≥g(x)min,所以0≥-m,所以m≥.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.比较下列各组值的大小:
(1)1.8-0.1,1.8-0.2.(2)1.90.3,0.73.1.
(3)a1.3,a2.5(a>0,且a≠1).
【解析】(1)由于1.8>1,所以指数函数y=1.8x在R上为增函数.所以1.8-0.1>1.8-0.2.
(2)因为1.90.3>1,0.73.1<1,所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时,函数y=ax是增函数,此时a1.3当0a2.5,
故当0a2.5;
当a>1时,a1.310.(2015·福州高一检测)若ax+1>(a>0,且a≠1),求x的取值范围.
【解题指南】由于a>0,且a≠1,可对a分为01两种情况讨论求解.
【解析】因为ax+1>,所以ax+1>a3x-5,
当a>1时,可得x+1>3x-5,所以x<3.
当03.
综上,当a>1时,x<3;当03.
(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·杭州高一检测)若-1A.5-x<5x< B.5x<<5-x
C.5x<5-x< D.<5-x<5x
【解析】选B.因为-11,故5x<,又因为5-x=,-1【补偿训练】已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是　(　　)
A.cC.b【解析】选D.对于指数函数y=ax,若x<0,则当01;当a>1时,有0所以0<<1,>1,>1.
又因为函数y=在R上是减函数,
且-<-,
所以>.
综上知>>,
即c2.(2015·黄石高一检测)f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是
　(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[2,+∞) D.(-∞,2]
【解析】选B.由于f(x)=在R上是增函数,所以当x=0时,0+a≤1,所以a≤1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·南昌高一检测)已知函数f=ax在x∈[-2,2]上恒有f<2,则a的取值范围为　　　　.
【解题指南】对a分为a>1和0【解析】当a>1时,函数f=ax在[-2,2]上单调递增,此时f≤f=a2,由题意可知a2<2,所以1当0答案:∪(1,)
4.(2015·厦门高一检测)对于函数f的定义域中的任意的x1,x2(x1≠x2),有如下的结论:
①f(x1+x2)=f·f;
②f=f+f;
③>0;
④<0.
当f=10x时,上述结论中正确的是　　　　(填序号).
【解题指南】利用指数幂的有关运算以及指数函数的单调性进行判断.
【解析】因为f=10x,且x1≠x2,所以f(x1+x2)=1=1·1=f·f,所以①正确;因为f=1≠1+1=f+f,所以②不正确;因为f=10x是增函数,所以f-f与x1-x2同号,所以>0,所以③正确,④不正确.
答案:①③
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.求函数y=的定义域、值域和单调区间.
【解析】定义域为R.令t=x2-3x+2=-,t∈,所以值域为.
因为y=在R上是单调减函数,
所以y=在上为单调增函数,在上是单调减函数.
【拓展延伸】指数型复合函数的单调性的求解步骤
(1)求定义域:依据题意明确研究范围.
(2)拆分:把原函数拆分成几个基本函数.
(3)定性质:分层逐一求单调性.
(4)下结论:根据复合函数的单调性法则即“同增异减”,得出原函数的单调性.
6.(2015·长沙高一检测)已知函数f(x)=1+.
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)证明函数f(x)在(-∞,0)上为减函数.
【解析】(1)由f(x)=1+可得,2x-1≠0,所以x≠0.所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
(2)设x1,x2∈(-∞,0)且x1f(x1)-f(x2)=-=
因为x1,x2∈(-∞,0)且x1所以>且<1,<1.
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(-∞,0)上为减函数.
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