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阶段质量检测(三)
(A卷　学业水平达标)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．函数y＝的最小正周期为(　　)
A．2π　　　　　　　　　 　B．π
C. D.
答案：C
2．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则
cos的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：A
3．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos的值等于(　　)
A．± B．±
C．－ D．－
答案：A
4．设sin θ＝，cos θ＝－，则2θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
5．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为(　　)
A. B.
C．4 D．12
答案：C
6．(湖北高考)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
7．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案：C
8．若＝－，则sin α＋cos α的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案：C
9．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
答案：D
10．若f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)
A．－ B．8
C．4 D．－4
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是________．
答案：
12．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________.
答案：
13．已知θ∈，＋＝2，则
sin的值为________．
答案：
14．已知(sin x－2cos x)(3＋2sin x＋2cos x)＝0，则的值为________．
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f＝－，α∈，求sinα＋的值．
解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，
所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，
又θ∈(0，π)，则θ＝，
所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)．
由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)得，f(x)＝－sin2x·(2cos2x－1)＝－sin 4x，
因为f＝－sin α＝－，即sin α＝，
又α∈，从而cos α＝－，
所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝cosα＋·cos 2α，求cos α－sin α的值．
解：(1)因为函数y＝sin x 的单调递增区间为，k∈Z.
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)由已知sin＝cos(cos2α－sin2α)，
得sin αcos＋cos αsin
＝(cos2α－sin2α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，
由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，
此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
17．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin x＋2sin＋cos.
(1)若f(α)＝，α∈，求α的值；
(2)若sin＝，x∈，求f(x)的值．
解：(1)f(x)＝sin x＋2sincos
＝sin x＋sin＝sin x＋cos x
＝sin.
由f(α)＝，得sin＝，
∴sin＝.
∵α∈，∴α＋∈.
∴α＋＝，∴α＝－.
(2)∵x∈，∴∈.
又∵sin＝，∴cos＝.
∴sin x＝2sincos＝，
cos x＝－＝－.
∴f(x)＝sin x＋cos x＝－＝.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
解：(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin.
∴函数f(x)的最小正周期为π.
∵f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)＝1，f＝2，
f＝－1，∴函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又∵f(x0)＝，
∴sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈.
从而cos＝－
＝－.
∴cos 2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
(B卷　能力素养提升)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°的值为(　　)
A．0　　　　　　 　　 　　B.
C. D．－
解析：选B　因为cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°＝cos 24°sin 54°－sin 24°cos 54°＝sin(54°－24°)＝sin 30°＝，故选B.
2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为(　　)
A．0 B．1
C．±1 D．－1
解析：选B　由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.
3．下列各式中，值为－的是(　　)
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1 D.－cos215°
解析：选D　用二倍角公式求解可知，只有D的结果为－.
4．设α∈，若sin α＝，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选B　依题意可得cos α＝，∴cosα＋＝·cos αcos－sin αsin＝cos α－sin α＝－＝.
5．设tan(α＋β)＝5，tan＝4，那么tanα＋的值等于(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：选B　tan＝tan＝＝＝.
6．在△ABC中，若tan Atan B＋tan A＋tan B＝1，则cos C的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选A　由tan Atan B＋tan A＋tan B＝1，得
tan A＋tan B＝1－tan Atan B，
所以tan(A＋B)＝＝1.
又tan(A＋B)＝－tan C，所以tan C＝－1，
所以C＝，cos C＝cos＝－.
7．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解析：选D　f(x)＝sin，x∈.
∵－≤x－≤.∴f(x)min＝sin＝－1.
8．已知α、β为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选A　∵α、β为锐角，且cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝＝，sin β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.
9．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则此三角形为(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：选B　∵sin Bsin C＝cos2，
∴sin Bsin C＝，
可得2sin Bsin C＝1＋cos[π－(B＋C)]，
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)．
∴cos(B－C)＝1.又角B、角C为△ABC的内角，
∴B－C＝0，即B＝C.故选B.
10．已知函数f(x)＝sinx＋cos，对任意实数α，β，当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是(　　)
A．3π B.
C. D.
解析：选B　f(x)＝sinx＋cos＝
sinx＋sin＝sin.
又当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数f(x)的最小正周期的一半，而函数的最小正周期T＝＝3π，从而选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．函数f(x)＝2cos2＋sin x的最小正周期是________．
解析：化简得f(x)＝1＋sin，
∴T＝＝2π.
答案：2π
12．已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，则cos(α＋β)＝________.
解析：因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－.
因为cos β＝－，β∈，
所以sin β＝－＝－.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
答案：
13．sin α＝，cos β＝，其中α，β∈，则α＋β＝________.
解析：∵α，β∈，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.
∵ α，β∈，∴0<α＋β<π，故α＋β＝.
答案：
14．cos 6·tan 6的符号为________(填“正”“负”或“不确定”)．
解析：∵<6<2π，∴6是第四象限角．
∴cos 6>0，tan 6<0，则cos 6·tan 6<0.
答案：负
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－，求cos3＋sin3－θ的值．
解：cos3＋sin3
＝sin3θ＋cos3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(1－)[1－(1－)]＝－2.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x.
(1)若点P(1，－)在角α的终边上，求f(α)的值；
(2)若x∈，求f(x)的值域．
解：(1)因为点P(1，－)在角α的终边上，
所以sin α＝－，cos α＝，
所以f(α)＝sin 2α－2sin2α＝2sin αcos α－2sin2α
＝2××－2×2＝－3.
(2)f(x)＝sin 2x－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x－1＝2sin－1，
因为x∈，所以－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
所以f(x)的值域是[－2,1]．
17．(本小题满分12分)(广东高考)已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)因为f＝，所以Acos＝Acos ＝A＝，所以A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos，f＝2cos＝－2sin α＝－，所以sin α＝，因为α∈，所以cos α＝；又因为f＝2cos＝2cos β＝，所以cos β＝，因为β∈，所以sin β＝.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，且f＝－1.
(1)求φ的值；
(2)若f(α)＝，f＝，且<α<，0<β<，求cos的值．
解：(1)∵f(x)＝sin(2x＋φ)，且f＝－1，
∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝－.
(2)由(1)得f(x)＝sin.
∵<α<，0<β<，
∴2α－∈，2β∈.
∵f(α)＝，f＝，
∴sin＝，sin 2β＝，
∴cos＝，cos 2β＝，
∴cos＝cos＝cos·cos 2β－sinsin 2β＝.