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首页 高二 高中数学必修4:第30课时 二倍角的正弦、余弦和正切 Word版含解析

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  • 资源类别:高二试卷
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:519k
  • 浏览次数:1609
  • 整理时间:2021-07-05
  • 第30课时 二倍角的正弦、余弦和正切
          课时目标
     掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及公式的变形;能灵活运用公式及其各种变形解题.
      识记强化
    1.二倍角正弦、余弦、正切公式
    sin2α=2sinαcosα
    cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
    tan2α=
    2.变形形式
    sinα=2sincos,cosα=cos2-sin2
    =2cos2-1=1-2sin2
    tanα=
    1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α;
    cos2α=,sin2α=
      课时作业
                 
    一、选择题
    1.已知cosx=-,x为第二象限角,那么sin2x=(  )
    A.- B.±
    C.- D.
    答案:C
    解析:因为cosx=-,x为第二象限角,所以sinx=,所以sin2x=2sinxcosx=2××=-,故选C.
    2.已知α为锐角,且满足cos2α=sinα,则α等于(  )
    A.30°或270° B.45°
    C.60° D.30°
    答案:D
    解析:因为cos2α=1-2sin2α,故由题意,知2sin2α+sinα-1=0,即(sinα+1)(2sinα-1)=0.因为α为锐角,所以sinα=,所以α=30°.故选D.
    3.已知sin α=,且α∈,那么的值等于(  )
    A.- B.-
    C. D.
    答案:B
    解析:===2tanα,
    ∵sinα=,α∈,
    ∴cosα=-,tanα=-,2tanα=-,故选B.
    4.化简等于(  )
    A.sin4+cos4 B.-sin4-cos4
    C.sin4 D.cos4
    答案:B
    解析:===|sin4+cos4|
    ∵4∈(π,),则sin4+cos4<0
    故=-sin4-cos4.
    5.已知α为第三象限角,且cosα=-,则tan2α的值为(  )
    A.- B.
    C.- D.-2
    答案:A
    解析:由题意可得,sinα=-=-,∴tanα=2,∴tan2α==-,故选A.
    6.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为(  )
    A.1+ B.-1
    C. D.2
    答案:A
    解析:y=2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+2sinxcosx
    =1-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x+1
    =sin(2x-)+1,
    ∴y的最大值为+1.
    二、填空题
    7.(cos75°-sin75°)(cos75°+sin75°)=________.
    答案:-
    解析:(cos75°-sin75°)(cos75°+sin75°)=cos275°-sin275°=cos150°=-sin60°=-.
    8.若θ∈(0,π),且sin2θ=-,则cosθ-sinθ=________.
    答案:-
    解析:∵sin2θ=-,θ∈(0,π),
    ∴sinθ>0,cosθ<0,cosθ-sinθ<0,
    又(cosθ-sinθ)2=1-sin2θ=,∴cosθ-sinθ=-.
    9.已知θ∈(0,π),且sin=,则tan2θ=________.
    答案:-
    解析:由sin=,得(sinθ-cosθ)=⇒sinθ-cosθ=.解方程组,得或.因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,所以不合题意,舍去,所以tanθ=,所以tan2θ===-.
    三、解答题
    10.已知tanα=,tanβ=,且α,β均为锐角,求α+2β的值.
    解:tan2β==,
    tan(α+2β)==1.
    因为α,β均为锐角,且tanα=<1,tanβ=<1,
    所以α,β∈,所以α+2β∈,
    所以α+2β=.
    11.已知函数f(x)=2cos2x+4sincoscosx.
    (1)求函数f(x)的最小正周期;
    (2)求函数f(x)在区间上的值域.
    解:(1)f(x)=2cos2x+4sincoscosx
    =2cos2x+2sinxcosx
    =cos2x+1+sin2x
    =2sin+1,
    所以函数f(x)的最小正周期T==π.
    (2)因为x∈,所以2x+∈,
    所以sin∈,
    所以f(x)的值域为[0,3].
      能力提升
    12.已知sin-2cos=0.
    (1)求tanx的值;
    (2)求的值.
    解:(1)由sin-2cos=0,知cos≠0,
    ∴tan=2,∴tanx===-.
    (2)由(1),知tanx=-,
    ∴==
    ==×=×=.
    13.已知函数f(x)=-sin(2x+)+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.
    (1)求f(x)的最小正周期;
    (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
    解析:(1)f(x)=-sin(2x+)+6sinxcosx-2cos2x+1=-sin2xcos-cos2x·sin+3sin2x-cos2x=2(sin2x-cos2x)=2 sin.
    所以f(x)的最小正周期T==π.
    (2)因为f(x)在区间上是增函数,
    在区间上是减函数,
    又f(0)=-2,f=2 ,f()=2.
    故函数f(x)在区间上的最大值为2 ,最小值为-2.
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