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首页 高二 高中数学选修2-1配套课时作业:第三章 空间向量与立体几何 单元检测(A卷) Word版含答案

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  • 资源类别:高二试卷
  • 所属教版:高二上册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:263k
  • 浏览次数:1827
  • 整理时间:2021-06-28
  • 第三章 空间向量与立体几何(A)
    (时间:120分钟 满分:150分)
    一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
    1.以下命题中,不正确的个数为(  )
    ①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;③若a·b=0,b·c=0,则a=c;④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底;⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|.
    A.2    B.3    C.4    D.5
    2.直三棱柱ABC—A1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于(  )
    A.a+b-c B.a-b+c
    C.-a+b+cD.-a+b-c
    3.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则(  )
    A.x=6,y=15 B.x=3,y=
    C.x=3,y=15 D.x=6,y=
    4.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|=,且a分别与,垂直,则向量a为(  )
    A.(1,1,1)
    B.(-1,-1,-1)
    C.(1,1,1)或(-1,-1,-1)
    D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)
    5.已知A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则sin〈,〉等于(  )
    A.-B.C.D.-
    6.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为(  )
    A.60° B.90° C.105° D.75°
    7.若平面α的法向量为n,直线l的方向向量为a,直线l与平面α的夹角为θ,则下列关系式成立的是(  )
    A.cos θ=B.cos θ=
    C.sin θ= D.sin θ=
    8.若三点A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是(  )
    A.不等边的锐角三角形 B.直角三角形
    C.钝角三角形 D.等边三角形
    9.若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则(  )
    A.α∥βB.α⊥β
    C.α,β相交但不垂直D.以上均不正确
    10.若两点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值等于(  )
    A.19 B.- C.D.
    11.
    如图所示,在四面体P—ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角B—AP—C的余弦值为(  )
    A.B.
    C. D.
    12.
    如图所示,在直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为(  )
    A. B.
    C.D.2
    题 号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    答 案
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=________.
    14.如图所示,
    已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为________.
    15.平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为________.
    16.
    如图所示,已知二面角α—l—β的平面角为θ,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为______.
    三、解答题(本大题共6小题,共70分)
    17.(10分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1⊥BC1,CA1⊥BC1.求证:AB1=CA1.
    18.(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3).
    求证:四边形ABCD是一个梯形.
    19.(12分)
    如图所示,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M、N分别是AC、BF的中点,判断与是否共线?

    20.(12分)
    如图所示,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
    求证:C1C⊥BD.
    21.(12分)
    如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.
    22.(12分)
    如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.
    (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值;
    (2)证明AF⊥平面A1ED;
    (3)求二面角A1—ED—F的正弦值.
    第三章 空间向量与立体几何(A)
    1.C [只有命题④正确.]
    2.
    D [如图,=-=--=--=b-a-c.]
    3.D [∵a∥b,∴存在实数λ,
    使,∴.]
    4.C [设a=(x,y,z),∵=(-2,-1,3),
    =(1,-3,2),
    又|a|=,a⊥,a⊥,
    ∴∴或
    ∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).]
    5.C [∵=(1,0,0),=(-2,-2,1),
    ∴cos〈,〉==-,
    ∴sin〈,〉=.]
    6.B [
    建立如图所示的空间直角坐标系,设BB1=1,则A(0,0,1),B1,C1(0,,0),
    B.
    ∴=,=,
    ∴·=--1=0,
    即AB1与C1B所成角的大小为90°.]
    7.D [若直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β,则θ=β-90°或θ=90°-β,cos β=,∴sin θ=|cos β|=.]
    8.A [=(3,4,2),=(5,1,3),=(2,-3,1),·>0,得∠A为锐角;·>0,得∠C为锐角;·>0,得∠B为锐角,所以△ABC是锐角三角形且||=,||=,||=.]
    9.A [∵v=-3u,∴v∥u.故α∥β.]
    10.C [=(1-x,2x-3,-3x+3),
    则||=
    ==.
    故当x=时,||取最小值.]
    11.C [如图所示,
    作BD⊥AP于D,作CE⊥AP于E,设AB=1,则易得CE=,EP=,PA=PB=,
    可以求得BD=,
    ED=.∵=++,
    ∴2=2+2+2+2·+2·+2·.
    ∴·=-,∴cos〈,〉=-,
    即二面角B—AP—C的余弦值为.]
    12.B [
    建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2).
    =(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2),设平面ACE的法向量n=(x,y,z),
    则 即
    令y=1,∴n=(-1,1,-1).
    故点D到平面ACE的距离
    d===.]
    13.
    解析 ∵a-2b=(8,-5,13),
    ∴|a-2b|==.
    14.
    解析 因四面体ABCD是正四面体,顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心,所以有BC⊥DA,AB⊥CD.设正四面体的棱长为4,
    则·=(+)·(+)
    =0+·+·+0
    =4×1×cos 120°+1×4×cos 120°=-4,
    BF=DE==,
    所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为:
    cos θ==.
    15.或
    解析 设n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),
    则cos〈n1,n2〉==-,
    ∴〈n1,n2〉=.因平面α与平面β所成的角与〈n1,n2〉相等或互补,所以α与β所成的角为或.
    16.
    解析 因为=++,
    所以2=2+2+2+2·+2·+2·=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cos θ.
    所以||=,
    即AD的长为.
    17.证明 以A为原点,AC为x轴,AA1为z轴建立空间直角坐标系.
    设B(a,b,0),C(c,0,0),A1(0,0,d),
    则B1(a,b,d),C1(c,0,d),=(a,b,d),
    =(c-a,-b,d),=(-c,0,d),
    由已知·=ca-a2-b2+d2=0,
    ·=-c(c-a)+d2=0,可得c2=a2+b2.
    再由两点间距离公式可得:
    |AB1|2=a2+b2+d2,|CA1|2=c2+d2=a2+b2+d2,
    ∴AB1=CA1.
    18.证明 因为=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),因为==,
    所以和共线,即AB∥CD.
    又因为=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),
    =(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2),
    因为≠≠,所以与不平行,所以四边形ABCD为梯形.
    19.解 ∵M、N分别是AC、BF的中点,四边形ABCD、ABEF都是平行四边形,
    ∴=++=++.
    又∵=+++
    =-+--,
    ∴++
    =-+--,
    ∴=+2+
    =2(++)=2.
    ∴∥,即与共线.
    20.证明 设=a,=b,=c,
    依题意,|a|=|b|,
    又设,,中两两所成夹角为θ,
    于是=-=a-b,
    ·=c·(a-b)=c·a-c·b
    =|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0,
    所以C1C⊥BD.
    21.解 因为=-,
    所以·=·-·
    =||||cos〈,〉-||||cos〈,〉
    =8×4×cos 135°-8×6×cos 120°
    =-16+24.
    所以cos〈,〉=
    ==.
    即OA与BC所成角的余弦值为.
    22.(1)解 
    如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点.设AB=1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),
    A1(0,0,4),E.
    易得=,
    =(0,2,-4),
    于是cos〈,〉==-.
    所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
    (2)证明 易知=(1,2,1),
    =,=,
    于是·=0,·=0.
    因此,AF⊥EA1,AF⊥ED.
    又EA1∩ED=E,所以AF⊥平面A1ED.
    (3)设平面EFD的法向量u=(x,y,z),
    则即
    不妨令x=1,可得u=(1,2,-1),
    由(2)可知,为平面A1ED的一个法向量,
    于是cos〈u,〉==,
    从而sin〈u,〉=.
    所以二面角A1—ED—F的正弦值为.
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