本文由 chengwujiaoyanshi 收集发布,转载请注明出处,如有问题请联系我们!高中数学选修2-3 第一章 计数原理 1.3-1.3.1学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )
A.(x-1)3 B.(x-2)3
C.x3 D.(x+1)3
【解析】 S=[(x-1)+1]3=x3.
【答案】 C
2.已知7 的展开式的第4项等于5,则x等于( )
A. B.-
C.7 D.-7
【解析】 T4=Cx43=5,则x=-.
【答案】 B
3.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为( )
A.3 B.6
C.9 D.12
【解析】 x3=[2+(x-2)]3,a2=C×2=6.
【答案】 B
4.使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】 Tr+1=C(3x)n-rr=C3n-rxn-r,当Tr+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时成立.
【答案】 B
5.(x2+2)5的展开式的常数项是( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
【解析】 二项式5展开式的通项为:Tr+1=
C5-r·(-1)r=C·x2r-10·(-1)r.
当2r-10=-2,即r=4时,有x2·Cx-2·(-1)4=C×(-1)4=5;
当2r-10=0,即r=5时,有2·Cx0·(-1)5=-2.
∴展开式中的常数项为5-2=3,故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·安徽淮南模拟)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为________.
【解析】 由题意知,C=C,∴n=8.
∴Tk+1=C·x8-k·k=C·x8-2k,当8-2k=-2时,k=5,∴的系数为C=56.
【答案】 56
7.设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是________.
【解析】 对于Tr+1=Cx6-r(-ax-)r=C(-a)r·x6-r,B=C(-a)4,A=C(-a)2.∵B=4A,a>0,
∴a=2.
【答案】 2
8.9192被100除所得的余数为________.
【解析】 法一:9192=(100-9)92=C·10092-C·10091·9+C·10090·92-…+C992,
展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数.
∵992=(10-1)92=C·1092-C·1091+…+C·102-C·10+1,
前91项均能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,故9192被100除可得余数为81.
法二:9192=(90+1)92=C·9092+C·9091+…+C·902+C·90+C.
前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8 281,显然8 281除以100所得余数为81.
【答案】 81
三、解答题
9.化简:S=1-2C+4C-8C+…+(-2)nC(n∈N*).
【解】 将S的表达式改写为:S=C+(-2)C+(-2)2C+(-2)3C+…+(-2)nC=[1+(-2)]n=(-1)n.
∴S=(-1)n=
10.(2016·淄博高二检测)在6的展开式中,求:
(1)第3项的二项式系数及系数;
(2)含x2的项.
【解】 (1)第3项的二项式系数为C=15,
又T3=C(2)42=24·Cx,
所以第3项的系数为24C=240.
(2)Tk+1=C(2)6-kk=(-1)k26-kCx3-k,令3-k=2,得k=1.
所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2.
[能力提升]
1.(2016·吉林长春期末)若Cx+Cx2+…+Cxn能被7整除,则x,n的值可能为( )
A.x=4,n=3 B.x=4,n=4
C.x=5,n=4 D.x=6,n=5
【解析】 Cx+Cx2+…+Cxn=(1+x)n-1,分别将选项A、B、C、D代入检验知,仅C适合.
【答案】 C
2.已知二项式n的展开式中第4项为常数项,则1+(1-x)2+(1-x)3+…+(1-x)n中x2项的系数为( )
A.-19 B.19 C.20 D.-20
【解析】 n的通项公式为Tr+1=C()n-r·r=Cx-,由题意知-=0,得n=5,则所求式子中的x2项的系数为C+C+C+C=1+3+6+10=20.故选C.
【答案】 C
3.对于二项式n(n∈N*),有以下四种判断:
①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.其中正确的是________.
【解析】 二项式n的展开式的通项公式为Tr+1=Cx4r-n,由通项公式可知,当n=4r(r∈N*)和n=4r-1(r∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.
【答案】 ①与④
4.求5的展开式的常数项. 【导学号:97270023】
【解】 法一:由二项式定理得5=5=C·5+C·4·+C·3·()2+C·2·()3+C··()4+C·()5.
其中为常数项的有:
C4·中的第3项:CC·2·;
C·2·()3中的第2项:CC··()3;展开式的最后一项C·()5.
综上可知,常数项为CC·2·+CC··()3+C·()5=.
法二:原式=5
=·[(x+)2]5=·(x+)10.求原式中展开式的常数项,转化为求(x+)10的展开式中含x5的项的系数,即C·()5,所以所求的常数项为=.
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )
A.(x-1)3 B.(x-2)3
C.x3 D.(x+1)3
【解析】 S=[(x-1)+1]3=x3.
【答案】 C
2.已知7 的展开式的第4项等于5,则x等于( )
A. B.-
C.7 D.-7
【解析】 T4=Cx43=5,则x=-.
【答案】 B
3.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为( )
A.3 B.6
C.9 D.12
【解析】 x3=[2+(x-2)]3,a2=C×2=6.
【答案】 B
4.使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】 Tr+1=C(3x)n-rr=C3n-rxn-r,当Tr+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时成立.
【答案】 B
5.(x2+2)5的展开式的常数项是( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
【解析】 二项式5展开式的通项为:Tr+1=
C5-r·(-1)r=C·x2r-10·(-1)r.
当2r-10=-2,即r=4时,有x2·Cx-2·(-1)4=C×(-1)4=5;
当2r-10=0,即r=5时,有2·Cx0·(-1)5=-2.
∴展开式中的常数项为5-2=3,故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·安徽淮南模拟)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为________.
【解析】 由题意知,C=C,∴n=8.
∴Tk+1=C·x8-k·k=C·x8-2k,当8-2k=-2时,k=5,∴的系数为C=56.
【答案】 56
7.设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是________.
【解析】 对于Tr+1=Cx6-r(-ax-)r=C(-a)r·x6-r,B=C(-a)4,A=C(-a)2.∵B=4A,a>0,
∴a=2.
【答案】 2
8.9192被100除所得的余数为________.
【解析】 法一:9192=(100-9)92=C·10092-C·10091·9+C·10090·92-…+C992,
展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数.
∵992=(10-1)92=C·1092-C·1091+…+C·102-C·10+1,
前91项均能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,故9192被100除可得余数为81.
法二:9192=(90+1)92=C·9092+C·9091+…+C·902+C·90+C.
前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8 281,显然8 281除以100所得余数为81.
【答案】 81
三、解答题
9.化简:S=1-2C+4C-8C+…+(-2)nC(n∈N*).
【解】 将S的表达式改写为:S=C+(-2)C+(-2)2C+(-2)3C+…+(-2)nC=[1+(-2)]n=(-1)n.
∴S=(-1)n=
10.(2016·淄博高二检测)在6的展开式中,求:
(1)第3项的二项式系数及系数;
(2)含x2的项.
【解】 (1)第3项的二项式系数为C=15,
又T3=C(2)42=24·Cx,
所以第3项的系数为24C=240.
(2)Tk+1=C(2)6-kk=(-1)k26-kCx3-k,令3-k=2,得k=1.
所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2.
[能力提升]
1.(2016·吉林长春期末)若Cx+Cx2+…+Cxn能被7整除,则x,n的值可能为( )
A.x=4,n=3 B.x=4,n=4
C.x=5,n=4 D.x=6,n=5
【解析】 Cx+Cx2+…+Cxn=(1+x)n-1,分别将选项A、B、C、D代入检验知,仅C适合.
【答案】 C
2.已知二项式n的展开式中第4项为常数项,则1+(1-x)2+(1-x)3+…+(1-x)n中x2项的系数为( )
A.-19 B.19 C.20 D.-20
【解析】 n的通项公式为Tr+1=C()n-r·r=Cx-,由题意知-=0,得n=5,则所求式子中的x2项的系数为C+C+C+C=1+3+6+10=20.故选C.
【答案】 C
3.对于二项式n(n∈N*),有以下四种判断:
①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.其中正确的是________.
【解析】 二项式n的展开式的通项公式为Tr+1=Cx4r-n,由通项公式可知,当n=4r(r∈N*)和n=4r-1(r∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.
【答案】 ①与④
4.求5的展开式的常数项. 【导学号:97270023】
【解】 法一:由二项式定理得5=5=C·5+C·4·+C·3·()2+C·2·()3+C··()4+C·()5.
其中为常数项的有:
C4·中的第3项:CC·2·;
C·2·()3中的第2项:CC··()3;展开式的最后一项C·()5.
综上可知,常数项为CC·2·+CC··()3+C·()5=.
法二:原式=5
=·[(x+)2]5=·(x+)10.求原式中展开式的常数项,转化为求(x+)10的展开式中含x5的项的系数,即C·()5,所以所求的常数项为=.
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