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章末综合测评(一)　统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为(　　)
①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．
A．①②③　 B．③④
C．④⑤ D．②③④
【解析】　①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④正确．
【答案】　D
2．(2016·哈尔滨高二检测)散点图在回归分析过程中的作用是(　　)
A．查找个体个数
B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类
D．粗略判断变量是否线性相关
【解析】　由散点图可以粗略地判断两个变量是否线性相关，故选D.
【答案】　D
3．身高与体重有关系可以用________来分析．(　　)
A．残差 B．回归分析
C．等高条形图 D．独立性检验
【解析】　因为身高与体重是两个具有相关关系的变量，所以要用回归分析来解决．
【答案】　B
4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是(　　)
A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm
B．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以上
C．她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右
D．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以下
【解析】　由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C.
【答案】　C
5．下列关于等高条形图的叙述正确的是(　　)
A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C．从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D．以上说法都不对
【解析】　在等高条形图中仅能粗略地判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．
【答案】　C
6．(2016·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则＝(　　)
A．58.5 B．46.5
C．60 D．75
【解析】　∵＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(，)，
∴＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】　A
7．若两个变量的残差平方和是325，(yi－i)2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为(　　)
A．64.8% B．60%
C．35.2% D．40%
【解析】　相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量的贡献率为×100%＝×100%≈35.2%，故选C.
【答案】　C
8．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据并整理、分析，得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%的把握认为这个结论成立．下列说法正确的个数是(　　)
①在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌；②如果一个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有.
【导学号：19220008】
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】　有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，指的是“吸烟与患肺癌有关”这个结论成立的可能性或者可信程度有99%，并不表明在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌，也不能说如果一个人吸烟，那么这个人就有99%的概率患肺癌；更不能说在100个吸烟者中一定有患肺癌的人，反而有可能在100个吸烟者中，一个患肺癌的人也没有．故正确的说法仅有④，选D.
【答案】　D
9．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图1中可以看出(　　)
图1
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的百分比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的百分比为60%
【解析】　从题图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．
【答案】　C
10．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若判断变量X和Y有关出错概率不超过2.5%，则c等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】　列2×2列联表如下：
x1
x2
总计
y1
a
b
31
y2
c
d
35
总计
10＋c
21＋d
66
故K2的观测值k＝≥5.024.
将选项A、B、C、D代入验证可知选A.
【答案】　A
11．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的试验，测试结果见下表，则试验效果与教学措施(　　)
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
A.有关 B．无关
C．关系不明确 D．以上都不正确
【解析】　随机变量K2的观测值为
k＝≈8.306>7.879，则认为“试验效果与教学措施有关”的概率为0.995.
【答案】　A
12．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观测值．计算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y对x的回归方程是(　　)
A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x
C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x
【解析】　由已知数据计算可得＝2.62，＝11.47，所以回归方程是＝11.47＋2.62x，故选A.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2的值为________．
【解析】　由ei恒为0，知yi＝i，即yi－i＝0，故R2＝1－＝1－0＝1.
【答案】　1
14．已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报体重的回归方程，其中x的单位是cm，y的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的随机误差是________．
【解析】　因为回归方程为＝0.85x－82.71，所以当x＝160时，＝0.85×160－82.71＝53.29，所以针对某个体(160,53)的随机误差是53－53.29＝－0.29.
【答案】　－0.29
15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k＝≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________．
【解析】　k≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05.
【答案】　0.05
16．若对于变量y与x的10组统计数据的回归模型中，相关指数R2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么(yi－)2的值为________．
【解析】　∵R2＝1－，
残差平方和(yi－i)2＝120.53，
∴0.95＝1－，
∴(yi－)2＝2 410.6.
【答案】　2 410.6
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)假设某农作物基本苗数x与有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
请画出散点图，并用散点图粗略地判断x，y是否线性相关．
【解】　散点图如图所示．
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，所以x，y线性相关．
18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：
男
女
总计
喜欢吃零食
5
12
17
不喜欢吃零食
40
28
68
总计
45
40
85
请问喜欢吃零食与性别是否有关？
【解】　k＝，
把相关数据代入公式，得
k＝≈4.722>3.841.
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．
19．(本小题满分12分)(2016·曲阜师大附中高二检测)为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
m
75
68
根据最小二乘法建立的回归直线方程为＝－20x＋250.
(1)试求表格中m的值；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从建立的回归方程，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
【导学号：19220009】
【解】　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
所以＝－20×8.5＋250＝80，
故(90＋84＋83＋m＋75＋68)＝80，
解得m＝80.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝(x－5)(－20x＋250)
＝－20(x>0)，
所以x＝8.75时，L取得最大值．
故当单价定为8.75元/件时，工厂可获得最大利润．
20．(本小题满分12分)如图2是对用药与不用药，感冒已好与未好进行统计的等高条形图．若此次统计中，用药的患者是70人，不用药的患者是40人，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“感冒已好与用药有关”？
图2
【解】　根据题中的等高条形图，可得在用药的患者中感冒已好的人数为70×＝56，在不用药的患者中感冒已好的人数为40×＝12.
2×2列联表如下：
感冒已好
感冒未好
总计
用药
56
14
70
不用药
12
28
40
总计
68
42
110
根据表中数据，得到
k＝≈26.96>10.828.
因此，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为感冒已好与用药有关系．
21．(本小题满分12分)(2016·湛江高二检测)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件个数x(个)
2
3
4
5
加工时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
图3
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
参考公式：回归直线＝x＋，其中＝＝，＝－.
【解】　(1)散点图如图：
(2)由表格计算得iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54，所以＝0.7，＝1.05，所以＝0.7x＋1.05，回归直线如上图；
(3)将x＝10代入回归直线方程得＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，
所以预测加工10个零件需要8.05小时．
22．(本小题满分12分)为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：
天数x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y/个
6
12
25
49
95
190
(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；
(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；
(3)计算相关指数．
【解】　(1)所作散点图如图所示．
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数型函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，则
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计算得：＝0.69x＋1.115，则有＝e0.69x＋1.115.
(3)
6.08
12.12
24.17
48.18
96.06
191.52
y
6
12
25
49
95
190
＝(yi－i)2＝4.816 1，(yi－)2＝24 642.8，
R2＝1－≈0.999 8，
即解释变量“天数”对预报变量“繁殖细菌个数”解释了99.98%.