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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．抛物线的焦点是，则其标准方程为(　　)
A．x2＝－y　　　　　　　 B．x2＝y
C．y2＝x D．y2＝－x
【解析】　易知－＝－，∴p＝，焦点在x轴上，开口向左，其方程应为y2＝－x.
【答案】　D
2．(2014·安徽高考)抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
【解析】　∵y＝x2，∴x2＝4y.∴准线方程为y＝－1.
【答案】　A
3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定
【解析】　由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，将点(2,4)代入可得p＝4或p＝，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.
【答案】　C
4．若抛物线y2＝ax的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－2,0) B．(2,0)
C．(2,0)或(－2,0) D．(4,0)
【解析】　由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为＝4，解得a＝±8.当a＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.
【答案】　C
5．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
【解析】　易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，即p＝4.
【答案】　D
二、填空题
6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝________.
【解析】　由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－，由题意知3＋＝4，∴p＝2.
【答案】　2
7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程是________．
【解析】　由题意知，P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
【答案】　y2＝8x
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号 )
【解析】　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】　②④
三、解答题
9．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标．
【解】　由抛物线定义，焦点为F，则准线为x＝.由题意，设M到准线的距离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10.∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝±6，
∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
10．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：26160056】
【解】　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
∵两圆外切，∴|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切．
∴圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
∴|MC|＝d＋1，即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
[能力提升]
1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.
【解析】　由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
【答案】　B
2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和到y轴的距离之和的最小值是(　　)
A. B.
C．2 D.－1
【解析】　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
【答案】　D
3．如图2－3－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2－3－2
【解析】　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.
∴x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.
∴水面宽|CD|＝2 m.
【答案】　2
4．若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离． 【导学号：26160057】
【解】　设抛物线焦点为F，连结AF，BF，如图，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.
由抛物线定义，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.
又M为AB中点，由梯形中位线定理，得
|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，
则x≥－＝1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以xmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.