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课时提升作业 九
椭圆及其标准方程
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为　(　　)
A.2 B.3 C.5 D.7
【解析】选D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.
2.(2016·日照高二检测)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是　(　　)
A.2 B.4 C.8 D.
【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,
则|MF|+|ME|=10,
所以|ME|=8.
又ON为△MEF的中位线,
所以|ON|=|ME|=4.
3.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是　(　　)
A.5 B.3或8 C.3或5 D.20
【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,
所以m=5或m=3.
4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程
为　(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.以上都不对
【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,
因为△PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即=c.①
又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,
所以a-c=,②
联立①②,可得a=2,c=,b==3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.
5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为　(　　)
A. B. C. D.
【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.
【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设|=m,|=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,
所以=·mn=1,
设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,
又|F1F2|=2,故h=.
二、填空题 (每小题5分,共15分)
6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为　　　　.
【解析】由题意可得所以
故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.
答案:+=1
7.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是　　　　.
【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,
所以|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,
故|PF1|·|PF2|的最大值是16.
答案:16
8.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2=　　　　.
【解析】由题意=c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.
由题意得点P坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b2=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.
【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.
当焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).
由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为+=1.
故椭圆的标准方程为+=1或+y2=1.
10.(2016·郑州高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.
当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.
【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.
【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xP,yP),
因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y.
因为P在圆x2+y2=25上,
所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·郑州高二检测)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是　(　　)
A.m<2 B.1C.m<-1或1【解析】选D.由题意得
即
所以12.(2016·临沂高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点,若|MN|=16,则椭圆的方程
为　(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选B.因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得2+-1=0,
所以=.
所以a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或c,
得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以椭圆方程为+=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是　　　　.
【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,
又|PF1|-|PF2|=2,
所以得|PF1|=3,|PF2|=1,
因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,
所以△PF1F2是直角三角形,
所以=·|F1F2|·|PF2|=.
答案:
4.(2016·唐山高二检测)已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=　　　 
【解题指南】设出A点的坐标,利用=3求出A点坐标,即可求出||的大小.
【解析】设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),
=(x1-1,y1),由=3,
得(1,y0)=3(x1-1,y1),
所以又点B在椭圆C上,
所以+=1,解得y0=±1,
所以A点坐标为(2,±1),
所以||==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.
(1)求椭圆的方程.
(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.
【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y轴上,且c=1.
又因为3a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,
所以a2=4,b2=3,
所以椭圆标准方程为+=1.
(2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.
又由椭圆定义知,
|PF1|+|PF2|=4,
所以|PF1|=,|PF2|=,
|F1F2|=2,
cos∠F1PF2==.
6.(2016·连云港高二检测)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.
(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.
(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.
【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,
所以a=2,b=1,c=,
即|F1F2|=2,
又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以|PF1|·|PF2|≤==4,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),
由=λ得x0=,y0=-.
又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,
解得λ=-7或λ=1,C异于B点,故λ=1舍去.所以λ=-7.
(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,
所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.
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