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课时提升作业(十二)
函数奇偶性的概念
(15分钟　30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列函数为奇函数的是　(　　)
A.y=-|x|　　　　 B.y=2-x
C.y=　　　 D.y=-x2+8
【解析】选C.A,D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.
2.(2015·三明高一检测)函数f(x)=　(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】选D.定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
【误区警示】易忽视函数定义域而误选B.
3.(2015·桂林高一检测)若函数f(x)满足=1,则f(x)图象的对称轴
是　(　　)
A.x轴　　　 B.y轴
C.直线y=x　　 D.不能确定
【解题指南】将函数图象的对称问题转化为判断函数的奇偶性问题.
【解析】选B.由题意知f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称.
【补偿训练】f(x)=x3+的图象关于　(　　)
A.原点对称　　　 B.y轴对称
C.y=x对称　　　 D.y=-x对称
【解析】选A.因为x≠0,f(-x)=(-x)3+=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数,则实数m=　　　　.
【解析】由f(-x)=f(x),可知m=0.
答案:0
5.(2015·张掖高一检测)已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为　　　　.
【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a(-3)=-6,解得a=5.
答案:5
三、解答题
6.(10分)(2015·南京高一检测)已知f(x)=x7+ax5+bx-5,且f(-3)=5,求f(3)的值.
【解析】方法一:设g(x)=x7+ax5+bx,
则g(x)为奇函数,
因为f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5,
所以g(3)=-10,所以f(3)=g(3)-5=-15.
方法二:f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5
=-(37+a·35+3b-5)-10=-f(3)-10=5,
所以f(3)=-15.
(15分钟　30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·临沂高一检测)下列图象表示的函数具有奇偶性的是　(　　)
【解题指南】利用奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称来判断.
【解析】选B.奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数的图象关于y轴对称,观察图象可知,只有B的图象关于y轴对称.
2.(2015·滁州高一检测)若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+
cx　(　　)
A.是奇函数但不是偶函数　
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数　
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】选A.因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c对x∈R恒成立.所以b=0.所以g(x)=ax3+cx,所以g(-x)=-g(x).又因为c≠0,所以g(x)为奇函数但不是偶函数.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·黄山高一检测)已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=-,则函数f(x)的解析式f(x)=　　　　.
【解析】f(x)的定义域为∪,若f(x)是奇函数,则=0,得q=0.故f(x)=,又f(2)=-,得=-,得p=2,因此f(x)==-.
答案:-
4.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f的值是　　　　.
【解析】若x≠0,则有f(x+1)=f(x),
取x=-,
则有:f=f
=f=-f,
因为f(x)是偶函数,则f=f,
由此得f=0,
于是,f=f=f=f=f=f
=5f=0.
答案:0
三、解答题
5.(10分)已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m].
(1)求m,n的值.
(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值.
【解析】(1)因为函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,所以函数的定义域关于原点对称.
又因为函数f(x)的定义域为[m-1,2m].
所以m-1+2m=0,解得m=.
又因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n,解得n=0.
(2)由(1)得函数的解析式为f(x)=x2+1,定义域为,其图象是开口方向朝上,且以y轴为对称轴的抛物线,所以当x=±时,f(x)取最大值.
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