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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·郑州高二检测)下列说法正确的是(　　)
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误
【解析】　合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．
【答案】　B
2．下面使用类比推理恰当的是(　　)
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
【解析】　由实数运算的知识易得C项正确．
【答案】　C
3．(2016·大连高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2­1­7所示，
图2­1­7
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2　 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
【解析】　从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
【答案】　C
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的(　　)
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
【解析】　由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．
【答案】　D
5．(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是(　　)
A．(2,10) B．(10,2)
C．(3,5) D．(5,3)
【解析】　由题意，发现所给数对有如下规律：
(1,1)的和为2，共1个；
(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；
(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；
(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．
由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．
【答案】　A
二、填空题
6．把正数排列成如图2­1­8甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图2­1­8乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2 017，则n＝__________.
【导学号：19220014】
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
甲　
1
2 4
5 7 9
10 12 14 16
乙
图2­1­8
【解析】　图乙中第k行有k个数，第k行最后的一个数为k2，前k行共有个数，由44×44＝1 936,45×45＝2 025知an＝2 017出现在第45行，第45行第一个数为1 937，第＋1＝41个数为2 017，所以n＝＋41＝1 031.
【答案】　1 031
7．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.
【解析】　因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.
【答案】　2πr4
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．
【解析】　结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
【答案】　a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
三、解答题
9．已知数列，，…，，…，Sn为其前n项和，计算S1，S2，S3，S4，观察计算结果，并归纳出Sn的公式．
【解】　S1＝＝＝＝，
S2＝＋＝＝＝，
S3＝＋＝＝＝，
S4＝＋＝＝＝，
由此归纳猜想Sn＝.
10．(2016·咸阳高二检测)在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．
【解】　类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.
证明：设M是正四面体P­ABC内任一点，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：
VP­ABC＝VM­ABC＋VM­PAB＋VM­PAC＋VM­PBC＝·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝a2，VP­ABC＝a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝a(定值)．
[能力提升]
1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于(　　)
1×9＋2＝11；
12×9＋3＝111；
123×9＋4＝1 111；
1 234×9＋5＝11 111；
12 345×9＋6＝111 111；
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
【解析】　由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.
【答案】　B
2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝××⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1.
【答案】　C
3．(2016·温州高二检测)如图2­1­9所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_________________________．
【导学号：19220015】
图2­1­9
【解析】　如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
所以＝(c，b)，＝(－a，b)．
又因为⊥，
所以·＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去)．
【答案】　
4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【解】　(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.