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  • 资源类别:高二教案
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
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  • 整理时间:2021-01-19
  • 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
    整体设计
    教学分析
    “二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道,二倍角的内涵是:揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
    本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化,让学生在探究中既感到自然、易于接受,还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系,同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为,《数学课程标准》提出:“要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征,获得一些体验”.
    在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习,更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换,否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.
    三维目标
    1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
    2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
    3.通过本节学习,引导学生领悟寻找数学规律的方法,培养学生的创新意识,以及善于发现和勇于探索的科学精神.
    重点难点
    教学重点:二倍角公式推导及其应用.
    教学难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.
    课时安排
    1课时
    教学过程
    导入新课
    思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式,并回忆这组公式的来龙去脉,然后让学生默写这六个公式.教师引导学生:和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题,请同学们思考一下,应解决哪些问题呢?由此展开新课.
    思路2.(问题导入)出示问题,让学生计算,若sinα=,α∈(,π),求sin2α,cos2α的值.学生会很容易看出:sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的,以此展开新课,并由此展开联想推出其他公式.
    推进新课
    新知探究
    提出问题
    ①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗?(请学生默写出来,并由一名学生到黑板默写)
    ②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗?此时公式变成什么形式?
    ③在得到的C2α公式中,还有其他表示形式吗?
    ④细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢?
    ⑤能看出公式中角的含义吗?思考过公式成立的条件吗?
    ⑥让学生填空:老师随机给出等号一边括号内的角,学生回答等号另一边括号内的角,稍后两人为一组,做填数游戏:sin( )=2sin( )cos( ),cos( )=cos2( )-sin2( ).
    ⑦思考过公式的逆用吗?想一想C2α还有哪些变形?
    ⑧请思考以下问题:sin2α=2sinα吗?cos2α=2cosα吗?tan2α=2tanα?
    活动:问题①,学生默写完后,教师打出课件,然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式,提醒学生注意公式中的α,β,既然可以是任意角,怎么任意的?你会有些什么样的奇妙想法呢?并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况,教师就此进入下一个问题,如果学生没想到这种特殊情况,教师适当点拨进入问题②,然后找一名学生到黑板进行简化,其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写,最后学生都不难得出以下式子,鼓励学生尝试一下,对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间,充分地让学生去思考、去探究,并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间,为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.
    sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα(S2α);
    cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos2α=cos2α-sin2α(C2α);
    tan(α+β)=
    这时教师适时地向学生指出,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦,余弦,正切公式,并指导学生阅读教科书,确切明了二倍角的含义,以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③,点拨学生结合sin2α+cos2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.
    这时教师点出,这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示).倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.
    问题④,教师指导学生,这组公式用途很广,并与学生一起观察公式的特征与记忆,首先公式左边角是右边角的2倍;左边是2α的三角函数的一次式,右边是α的三角函数的二次式,即左到右→升幂缩角,右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式,余弦是多项式,正切是分式.
    问题⑤,因为还没有应用,对公式中的含义学生可能还理解不到位,教师要引导学生观察思考并初步感性认识到:(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去;(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数;(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况;(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角α没有限制,都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠kπ+和α≠kπ+(k∈Z)时才成立,这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+,k∈Z时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式,但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.
    问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性,即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,是的二倍,3α是的二倍,是的二倍,-α是-的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.
    例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等.
    问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用,这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=sin6α,4sincos=2(2sincos)=2sin,
    =tan80°,cos22α-sin22α=cos4α,tan2α=2tanα(1-tan2α)等等.
    问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.
    若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k∈Z).
    若cos2α=2cosα,则2cos2α-2cosα-1=0,即cosα=(cosα=舍去).
    若tan2α=2tanα,则=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k∈Z).
    解答:①—⑧(略)
    应用示例
    思路1
    例1 已知sin2α=,<α<,求sin4α,cos4α,tan4α的值.
    活动:教师引导学生分析题目中角的关系,观察所给条件与结论的结构,注意二倍角公式的选用,领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义,它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题,目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用,理解二倍角的相对性,教师大胆放手,可让学生自己独立探究完成.
    解:由<α<,得<2α<π.
    又∵sin2α=,
    ∴cos2α==.
    于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2××()=;
    cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×()2=;
    tan4α==(-)×=.
    点评:学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法,但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程,使问题的解答简捷、巧妙、规范,并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.
    变式训练
    1.不查表,求值:sin15°+cos15°.
    解:原式=
    点评:本题在两角和与差的学习中已经解决过,现用二倍角公式给出另外的解法,让学生体会它们之间的联系,体会数学变化的魅力.
    2.(2007年高考海南卷,9) 若,则cosα+sinα的值为……( )
    A. B. C. D.
    答案:C
    3.(2007年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为的是( )
    A.2sin15°-cos15° B.cos215°-sin215°
    C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°
    答案:B
    例2 证明=tanθ.
    活动:先让学生思考一会,鼓励学生充分发挥聪明才智,战胜它,并力争一题多解.教师可点拨学生想一想,到现在为止,所学的证明三角恒等式的方法大致有几种:从复杂一端化向简单一端;两边化简,中间碰头;化切为弦;还可以利用分析综合法解决,有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生,教师点出:可否再添加一种,化倍角为单角?这可否成为证明三角恒等式的一种方法?再适时引导,前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换,对“1”的妙用大家深有体会,这里可否在“1”上做做文章?
    待学生探究解决方法后,可找几个学生到黑板书写解答过程,以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬;对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙,妙在它在三角恒等式中一旦出现,在证明过程中就会起到至关重要的作用,在今后的证题中,万万不要忽视它.
    证明:方法一:
    左=
    =
    =
    =tanθ=右.
    所以,原式成立.
    方法二:
    左=
    ==tanθ=右.
    方法三:
    左=
    =
    =
    ==tanθ=右.
    点评:以上几种方法大致遵循以下规律:首先从复杂端化向简单端;第二,化倍角为单角,这是我们今天刚刚学习的;第三,证题中注意对数字的处理,尤其“1”的代换的妙用,请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了,不论用哪一种方法,都要思路清晰,书写规范才是.
    思路2
    例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
    活动:本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题,有一定难度,但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用,逆用公式的先决条件是认识公式的本质,要善于把表象的东西拿开,正确捕捉公式的本质属性,以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究,不要轻易告诉学生解法,可适时点拨学生需要做怎样的变化,又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现,如果用诱导公式把10°,30°,50°,70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.
    解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°
    =
    =
    点评:二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一,又是解答许多数学问题的重要模型和工具,具有灵活多变,技巧性强的特点,要注意在训练中细心体会其变化规律.
    例2 在△ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.
    活动:这是本节课本上最后一个例题,结合三角形,具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0解:方法一:在△ABC中,由cosA=,0sinA=
    所以tanA==×=,
    tan2A=
    又tanB=2,
    所以tan2B=
    于是tan(2A+2B)=
    方法二:在△ABC中,由cosA=,0sinA=
    所以tanA=×=.又tanB=2,
    所以tan(A+B)=
    于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]
    =
    点评:以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.
    变式训练
    化简:
    解:原式=
    =
    =cot2α.
    知能训练
    (2007年高考四川卷,17) 已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,
    (1)求tan2α的值;
    (2)求β.
    解:(1)由cosα=,0<α<,得sinα==
    ∴tanα===4.于是tan2α=
    (2)由0<α<β<,得0<α-β<.
    又∵cos(α-β)= ,∴sin(α-β)=
    由β=α-(α-β),得
    cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+=.
    ∴β=.
    点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力.
    作业
    课本习题3.1 A组15、16、17.
    课题小结
    1.先由学生回顾本节课都学到了什么?有哪些收获?对前面学过的两角和公式有什么新的认识?对三角函数式子的变化有什么新的认识?怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
    2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导,明白从一般到特殊的思想,并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.
    设计感想
    1.新课改的核心理念是:以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应用,充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念,体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式,在这个活动过程中,由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程还是比较流畅的.
    2.纵观本教案的设计,学生发现二倍角后就是应用,至于如何训练二倍角公式正用,逆用,变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.
    3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间,增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径,让学生真正尝试到探索的喜悦,真正成为教学的主体.学生会体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.
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