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首页 高二 高二数学精品教案 二项式定理及其应用(选修2-3)

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  • 资源类别:高二教案
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:61k
  • 浏览次数:946
  • 整理时间:2021-04-13
  • 二项式定理及其应用
    一、求某项的系数:
    【例1】(1)在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是多少?(407)
    (2)求(1+x-x2)6展开式中含x5的项.()
    二、证明组合数等式:
    练习
    (12345)

    例2  计算:1.9975(精确到0.001).
    师:按生戊所谈的方法,大家在自己的笔记本上计算一下.
    例3:(1996年全国高考有这样一道应用题)
    某地现有耕地10 000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
    例3  如果今天是星期一,那么对于任意自然数n,经过23n+3+7n+5天后的那一天是星期几?
    生庚:先将此题转化为数学问题,即本题实际上寻求对于任意自然数n,23n+3+7n+5被7除的余数.
    受近似计算题目启发,23n+3=8n+1=(7+1)n+1,这样可以运用
    数,7n也是7的倍数,最后余数是1加上5,是6了.
    师:请同学们在笔记本上完成此题的解答
    (教师请一名同学板演)
    解:由于23n+3+7n+5=8n+1+7n+5=(7+1)n+1+7n+5
    则  23n+3+7n+5被7除所得余数为6
    所以对于任意自然数n,经过23n+3+7n+5后的一天是星期日.
    师:请每位同学在笔记本上完成这样一个习题:7777-1能被19整除吗?
    (教师在教室内巡视,3分钟后找学生到黑板板演)
    解:7777-1=(76+1)77
    由于76能被19整除,因此7777-1能被19整除.
    师:请生辛谈谈他怎样想到这个解法的?
    生辛:这是个幂的计算问题,可以用二项式定理解决.如果把7777改成(19+58)77,显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除,于是我想到若7777-1能被38,或能被57,或能被76,或能被95整除,必能被19整除,而76与77只差1,故欲证7777-1被19整除,只需证(76+1)77被76整除.得到了以上的解法.
    师:二项式定理解决的是乘方运算问题,因此幂的问题可以考虑二项式定理.下面我们解一些综合运用的习题
    例4  求证:3n>2n-1(n+2)(n∈N,且n≥2).
    师:仍然由同学先谈谈自己的想法.
    生壬:我觉得这道题仍可以用二项式定理解,为了把左式与右式发生联系,将3换成2+1.
    注意到:
    ①  2n+n·2n-1=2n-1(2+n)=2n-1(n+2);
    ②  n≥2,右式至少三项;
    这样,可以得到3n>2n-1(n+2)(n∈N,且n≥2).
    生癸:根据题设条件有n∈N,且n≥2.用数学归纳法应当可以证明.
    师:由于观察习题时思维起点不同,得到了习题不同解法,生×同学从乘方运算这点考虑,想到二项式定理,生×同学从题设条件n∈N考虑,想到数学归纳法.大家要养成习惯,每遇一题,从不同角度观察思考,得到更多解法,使我们思考问题更全面.
    用二项式定理证明,生×同学已经讲清楚了证明过程,大家课下在笔记本上整理好,现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明.
    (教师请一名同学板演)
    证明:①当n=2时,左式=32=9,右式=22-1(2+2)=2×4=8,显然9>8.故不等式成立.
    ②假设n=k(k∈N且k≥2)时,不等式成立,即3k>2k-1(k+2),则当n=k+1时,
    由于  左式=3k+1=3·3k>3·2k-1(k+2)=3k·2k-1+3·2k.
    右式=2(k+1)-1[(k+1)+2]=2k(k+3)=k·2k+3·2k,
    则  左式-右式=(3k·2k-1+3·2k)-(k·2k+3·2k)
    =3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1>0.
    所以  左式>有式.故当n=k+1时,不等式也成立.
    由①,②不等式对n≥2,n∈N都成立.
    师:为了培养综合能力,同学们在笔记本再演算一道习题:
    设n∈N且n>1,求证:
    (证明过程中可以运用公式:对n个正数a1,a2,…,an,总有
    (教师在教室巡视,过2分钟找一名同学到黑板板演第(1)小题,再过3分钟找另一名同学板演第(2)小题)

    师:哪位同学谈一谈此题应怎样分析?
    生寅:第(1)小题左式与右式没有直接联系,应把它们分别转化,
    列前n项的和,由求和公式也能得到2n-1.因此得到证明.
    第(2)小题左式与右式也没有直接联系.根据题目给出的公式要
    师:根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法,要在解题实践中掌握.
    本节课讨论了二项式定理主要应用,包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用.当然,二项式定理的运用不止这些,凡是涉及到乘方运算(指数是自然数或转化为自然数)都可能用到二项式定理.认真分析习题的结构,类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法,希望引起同学们的重视.
    作业
    1.课本习题:P253习题三十一:6,7,10;
    2.课本习题:P256复习参考题九:15(2).
    3.补充题:

    课堂教学设计说明
    1.开始练习起着承上启下的作用.这三题既复习了二项式定理及其性质,又考查了数学基本思想,如等价变换、未知转化已知,取特殊值,利于本节课进行,又培养了学生预习复习的学习习惯.
    2.只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手,才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力.因此课堂教学一定以学生为主体,体现主体参与.
    3.学生的回答不会像教案写的那样标准,教师要因势利导,帮助学生提高分析能力.

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