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  • 资源类别:高二教案
  • 所属教版:高二下册数学人教版
  • 文件格式:ppt/doc
  • 大小:39k
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  • 整理时间:2021-04-13
  • 教学目标  
    1.正确理解排列、组合的意义.  
    2.掌握写出所有排列、所有组合的方法,加深对分类讨论方法的理解.  
    3.发展学生的抽象能力和逻辑思维能力.  
    教学重点与难点  
    重点:正确理解两个原理(加法原理、乘法原理)以及排列、组合的概念.  
    难点:区别排列与组合.  
    教学过程设计  
    师:上节课我们学习了两个基本原理,请大家完成以下两题的练习:  
    (用投影仪出示)  
    1.书架上层放着50本不同的社会科学书,下层放着40本不同的自然科学的书.  
    (1)从中任取1本,有多少种取法?  
    (2)从中任取社会科学书与自然科学书各1本,有多少种不同的取法?  
    2.某农场为了考察三个外地优良品种A,B,C,计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的上
    地上分别进行引种试验,问共需安排多少个试验小区?  
    (全体同学参加笔试练习.)  
    4分钟后,找一同学谈解答和怎样思考的?  
    生:第1(1)小题从书架上任取1本书,有两类办法,第一类办法是从上层取社会科学书,
    可以从50本中任取1本,有50种方法;第二类办法是从下层取自然科学书,可以从40本中任取1本,有40种方法.根据加法原理,得到不同的取法种数是50+40=90.第(2)小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本(共取出2本),可以分两个步骤完成:第一步取一本社会科学
    书,第二步取一本自然科学书,根据乘法原理,得到不同的取法种数是:50×40=2 000.第2题说,共有A,B,C三种优良品种,而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区,在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区.  
    师:学习了两个基本原理之后,继续学习排列和组合,什么是排列?什么是组合?这两个问题
    有什么区别和联系?这是我们讨论的重点.先从实例入手:  
    1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同飞机票?  
    希望同学们设计好方案,踊跃发言.  
    生甲:首先确定起点站,如果北京是起点站,终点站是上海或广州,需要制2种飞机票,若
    起点站是上海,终点站是北京或广州,又需制2种飞机票;若起点站是广州,终点站是北京
    或上海,又需要2种飞机票,共需要2+2+2=6种飞机票.  
    师:生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题.能不能用乘法原理来设计方案呢?  
    生乙:首先确定起点站,在三个站中,任选一个站为起点站,有3种方法.即北京、上海、
    广泛任意一个城市为起点站,当选定起点站后,再确定终点站,由于已经选了起点站,终点
    站只能在其余两个站去选.那么,根据乘法原理,在三个民航站中,每次取两个,按起点站
    在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种.  
    师:根据生乙的分析写出所有种飞机票.  
    生丙:(板演)  
     
    在航海中,船舰常以“旗语”相互联系,即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如
    有红、黄、绿三面不同颜色的旗子,按一定顺序同时升起表示一定的信号,问这样总共可以
    表示出多少种不同的信号?  
    请同学们谈谈自己的想法.  
    生丁:事实上,红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号,所以不同颜色的
    同时升起可以表示出来的信号种数,也就是红、黄、红这三面旗子的所有不同顺序的排法总
    数.  
    首先,先确定最高位置的旗子,在红、黄、绿这三面旗子中任取一个,有3种方法;  
    其次,确定中间位置的旗子,当最高位置确定之后,中间位置的旗子只能从余下的两面旗中
    去取,有2种方法.  
    乘下那面旗子,放在最低位置.  
    根据乘法原理,用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是:  
    3×2×1=6(种).  
    师:根据生丁同学的分析,写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况.(包括每个位置情
    况)  
    生戊:(板演)
     
    师:第三个实例,请全体同学都参加设计,把所有情况(包括每个位置情况)写出来.  
    由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数?写出这些所有的三位数.  
    (教师在教室巡视,过3分钟找一个同学板演)  
    根据乘法原理,从四个不同的数字中,每次取出三个排成三位数的方法共有  
    4×3×2=24(个).  
    师:请板演同学谈谈怎样想的?  
    生:第一步,先确定百位上的数字.在1,2,3,4这四个数字中任取一个,有4种取法.
    第二步,确定十位上的数字.当百位上的数字确定以后,十位上的数字只能从余下的三个数
    字去取,有3种方法.  
    第三步,确定个位上的数字.当百位、十位上的数字都确定以后,个位上的数字只能从余下
    的两个数字中去取,有2种方法.  
    根据乘法原理,所以共有4×3×2=24种.  
    师:以上我们讨论了三个实例,这三个问题有什么共同的地方?  
    生:都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象.  
    师:取出的这些研究对象又做些什么?  
    生:实质上按着顺序排成一排,交换不同的位置就是不同的情况.  
    师:请大家看书,第×页、第×行.我们把被取的对象叫做双元素,如上面问题中的民航站
    、旗子、数字都是元素.  
    上面第一个问题就是从3个不同的元素中,任取2个,然后按一定顺序排成一列,求一共有多少种不同的排法,后来又写出所有排法.第二个问题,就是从3个不同元素中,取出3个,然后按一定顺序排成一列,求一共有多少排法和写出所有排法.第三个问题呢?  
    生:从4个不同的元素中,任取3个,然后按一定的顺序排成一列,求一共有多少种不同的排法,并写出所有的排法.  
    师:请看课本,第×页,第×行,一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情况),按着一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.  
    按着这个定义,结合上面的问题,请同学们谈谈什么是相同的排列?什么是不同的排列?  
    生:从排列的定义知道,如果两个排列相同,不仅这两上排列的元素必须完全相同,而且排
    列的顺序(即元素所在的位置)也必须相同.两个条件中,只要有一个条件不符合,就是不
    同的排列.  
    如第一个问题中,北京—广州,上海—广州是两上排列,第三个问题中,213与423也是两个排列.  
    再如第一个问题中,北京—广州,广州—北京;第二个问题中,红黄绿与红绿黄;第三个问
    题中231和213虽然元素完全相同,但排列顺序不同,也是两个排列.  
    师:还需要搞清楚一个问题,“一个排列”是不是一个数?  
    生:“一个排列”不应当是一个数,而应当指一件具体的事.如飞机票“北京—广州”是一
    个排列,“红黄绿”是一种信号,也是一个排列.如果问飞机票有多少种?能表示出多少种
    信号.只问种数,不用把所有情况罗列出来,才是一个数.前面提到的第三个问题,实质上
    也是这样的.  
    师:下面我们进一步讨论:  
    1.在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,有多少种不同的飞机票价与准备多少种
    不同的飞机票,有什么区别?  
    2.某班某小组五名同学在暑假互相都通信一次,打电话一次,通信的封数与打电话的次数是
    否一致?  
    3.有四个质数2,3,5,7两两分别作加法、减法、乘法、除法,所得到的和、差、积、商是
    否相同?  
    生A:我回答第1个问题.前边已经讨论过有要准备6种飞机票,但票价只有三种,北京—上海与上海—北京,北京—广州与广州—北京,上海—广州与广州—上海票价是一样的,共有3种票价.  
    生B:我回答第2个问题.举个例子,张玉同学给李刚同学写信,李刚同学给张玉同学写信,
    这样两封信才算彼此通一次信.而两人通一次电话,无论是张玉打给李刚的,还是李刚打给
    张玉的,两个人都同时参与了,彼此通了一次电话.  
    师:那么通了多少封信?打了多少次电话?  
    生C:五个人都要给其他四位同学写信,5×4=20封.关于打电话次数,我现在数一数:设
    五名同学的代号是a,b,c,d,e.则a—b,a—c,a—d,a—e,b—e,b—d,b—e,c—d
    ,c—e,d—e.共十次.  
    生D:我回答第3个问题.减法与除法所得的差和商个数是同一个数,因为被减数与减数,被除数与除数交换位置所得的差与商是不同的.加法与乘法所得的和与积个数是同一个数,根据加法、乘法交换律,被加数与加数,被乘数与乘数交换位置,和与积不受影响.  
    师:有多少个差与商?有多少个和与积?  
    生E:2,3,5,7都可以做被减数和被除数,对于每一个被减数(或被除数)都对应着有3个数作减数(或除数),共有4×3=12个差或商.把交换位置的情况除去,就是和或积的数字,即12÷2=6.  
    师:以上三个问题六件事,有什么共同点?再按类分,类与类之间有什么区别?区别在哪里?
    生:都是从一些元素中,任取某些元素的问题.  
    可以分两类.一类属于前边学过的排列问题,即取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”
    ,只要交换位置,就是不同的排列.前边三个问题中的飞机票、通信封数、减法与除法运算
    的结果都属于这一类.另一类是取出的元素,不必管顺序,只有取不同元素时,才是不同的
    情况,如飞机票价,打电话次数、加法与乘法运算的结果都属于这一类.  
    师:分析得很好,我们说后一类问题是从n个元素中任取m(m≤n)个元素,不管怎样的顺序并成一组,求一共有多少种不同的组.如以上三个问题中飞机票价题是3组,打电话次数题是10组,和与积的个数题都是6组.  
    请同学们看课本,第×页第×行开始到第×页第×行结束.  
    (用5分钟时间学生读课本,教师巡视,回答学生提出的问题)  
    师:组合这一节讲的主要内容是什么?  
    生:组合定义;什么是相同的组合,什么是不同的组合;排列与组合的区别;怎样写出某个
    组合问题的所有组合.  
    师:现在请同学们回答这四个问题.每位同学只说一个问题.  
    生F:组合定义是从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.  
    生G:如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有
    当组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.  
    生H:排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关.如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合.  
    生I:我举个例子.前边生C同学提到的a,b,c,d,e这五个元素,写出每次取出2个元素的所有组合.  
    先把a从左到右依次与b,c,d,e组合,写出ab,ac,ad,ae.再把B依次与c,d,e组合,写出bc,bd,be.再把c依次与d,e组合,写出cd,ce.最后d与e组合,写出de.前面生C面学已经写得很好.  
    师:一定要认真体会排列与组合的区别在于顺序是否有关,在以后的各种实际应用题中要区
    别清楚才能寻找正确解题途径.  
    和排列一样,还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念.一个组合不是一个
    数,而是具体的一件事,刚才生I同学回答的每一种如ab,又如ac,…都叫一个组合,共10种,而10就是组合数.  
    怎样写出所有的排列和所有的组合是本节的技能方面要求,现在请同学们写出由1,2,3,4
    中取出3个数所有组合.  
    (教师请生M到黑板板演)  
    板演:  
    123,124,134,234.  
    师:最后希望大家思考,下面的问题是排列问题,还是组合问题?怎样解?  
    1.今欲从1,2,3,8,9,10,12诸数中选取两数,使其和为偶数,问共有几种选法?  
    2.有四张卡片,每张分别写着数码1,2,3,4.有四个空箱,分别写着号码1,2,3,4.把
    卡片放到空箱内,每箱必须并且只能放一张,而且卡片数码与箱子号码必须不一致,问有多
    少种放法?  
    (两道题用投影仪示出)  
    同学们独立思考几分钟,然后全班进行讨论,请思考成熟的同学发言.  
    生n:我谈第1题.要求出用两个数码所组成的其和为偶数的数的个数,这时按两奇数的和为偶数与两偶数的和为偶数这一标准,进行分类.选出的两数不考虑顺序,因为交换位置其和不变,是组合问题.解法是:  
    在1,3,9中任选两段:1,3;1,9;3,9有3个组合.  
    在2,8,10,12中任选两数:2,8;2,10;2,12;8,10;8,12;10,12.有6个组合.
    根据加法原理,3+6=9.  
    所以共有9种选法.  
    生P:我谈第2题.这是从四张卡片中取出4张,分别放在四个位置上,只要交换卡片位置,
    就是不同的放法,是个附有条件的排列问题.解法是:  
    第一步是把数码卡片四张中2,3,4三张任选一个放在第1空箱.  
    第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱.  
    第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱.  
    第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱.具体排法,我用下面图表表示:  
     
    所以,共有9种放法.  
    师:参加讨论的同学对于什么是排列,什么是组合?一个排列与排列种数,一个组合与组合
    种数区别是什么?怎样排列,怎样组合都比较清楚了.由于排列组合问题遇到的情况不是唯
    一的,经常使用分类讨论的方法.  
    作业  
    课本:P232练习,1,7;P243练习1,2,3,4,6.  
    补充作业  
    1.空间有五个点,其中任何四点不共面,以每四个点为顶点作一个四面体,一共可作多少
    个四面体?(5个)  
    2.用0,2,3,5可以组成多少个数字不重复且被5整除的三位数?(10个)  
    3.同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张
    贺年卡不同的分配方式有多少种?(9种)  
    课堂教学设计说明  
    1.温故才能知新,为了培养学生良好的学习习惯,学习新课前进行了复习练习.  
    2.为了更深刻地理解排列组合概念,设计教案时采取了两项有效措施.  
    (1)先给出排列、组合的感性认识,再抽象出排列、组合定义,利于学生抽象能力的培养
    ,并能激发学生的学习兴趣,积极参加学习过程中来.  
    (2)改变了教材的安排,把排列与组合的概念放在同一节课,既节约了课时又通过对比,
    更深刻理解排列与组合概念本质,掌握它们的共同点与不同点.  
    3.教案设计中注意了学生主体参与,通过学生实践,掌握概念的形成过程和应用,从而培养
    能力,并注意训练学生的自学能力.  

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