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首页 高二 高二上册数学曲线与方程1
  • 资源类别:高二教案
  • 所属教版:高二上册数学人教版
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  • 整理时间:2021-04-08
  • 2.1 曲线与方程
    2.1.1曲线与方程
    【学情分析】:学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程,熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式,能解决直线与圆的有关问题,对解析几何的研究方法与思路有一定的了解,这些对本节学习有很大帮助。
    【教学目标】:
    知识与技能
    1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系,
    2、领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系,并能作简单的判断与推理;
    过程与方法
    1.在形成概念的过程中,培养分析、抽象和概括等思维能力,掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想,以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法;
    2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.
    情感态度与价值观
    培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质,以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神
    【教学重点】:理解曲线与方程的有关概念与相互联系
    【教学难点】:定义中规定两个关系(纯粹性和完备性)
    【课前准备】:多媒体、实物投影仪
    【教学过程设计】:
    教学环节
    教学活动
    设计意图
    一.复习、引入
    1、问题: (1)求如图所示的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系;
    观察、思考,求得方程为
    引导学生分析:(1)如果点是这条直线上的任意一点,则它到两坐标轴的距离相等,即,那么它的坐标是方程的解。
    (2)如果是方程的解,即,则以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等,它一定在这条直线上。
    通过学生已熟悉的两种曲线引入,有利于学生在已有知识基础上开展学习;提出新问题,创设情景,引发学习兴趣。
    二.复习、引入
    (2) 仿照(1)说明:以为圆心,以r为半径的圆与方程的关系
    ⑴ 设M(xo,yo)是圆上任一点,则它到圆心的距离等于 半径 ,即,即:,这就是说,(xo,yo)是此方程的 解 ;
    ⑵ 如果(xo,yo)是方程的解,则可以推得 ,即点M(xo,yo)到圆心的距离等于半径 ,点M在 圆 上。
    引导学生在前一个例子的基础上类比归纳,得出结论,使他们理解几何中的“形”与代数中的“数”的统一,为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础.这正体现了解析几何的基本思想,对解析几何教学有着深远的影响.
    三.讲解定义
    1.在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系:
    (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性)
    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(完备性)
    那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线
    2.讨论:曲线可以看作是由点组成的集合,记作C;一个关于x,y的二元方程的解可以作为点的坐标,因而二元方程的解也描述了一个点集,记作F
    请大家思考:如何用集合C和点集F间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系,进而重新表述以上定义
    关系(1)指集合C是点集F的子集,关系(2)指点集F是点集合C的子集.
    这样根据集合的性质,可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”,
    即:
    3.练习:下列方程表示如图所示的直线C,对吗?为什么?
    (1);
    (2);
    (3)|x|-y=0.
    上题供学生思考,口答.
    解:方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线C的方程.
    第(1)题中曲线C上的点不全都是方程的解,如点(-1,-1)等,即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论;
    第(2)题中,尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”,但以方程的解为坐标的点不全在曲线C上,如点(2,-2)等,即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论;
    第(3)题中,类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”,“以方程的解为坐标的点都在曲线上”.事实上,(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况:
    上述概念是本课的重点和难点,让学生自己通过讨论归纳出来,老师再说清楚这两大性质(纯粹性和完备性)的含义,使学生初步理解这个概念
    通过引导学生运用集合的表述,使学生对曲线和方程的关系的理解得到加深和强化,在记忆中上也趋于简化
    通过反倒加深对定义的理解。
    四.例题
    1.例1:证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是
    证明:(1)如图,设是轨迹上的任意一点,因为点M与x轴的距离为,与y轴的距离为,所以:
    ,即是方程的根;
    (2)设点的坐标是方程的根,
    则:,即 ,而、是点到横轴、纵轴的距离,因此点到这两条直线的距离的积是常数k,点是曲线上的点。
    由(1)(2)可知,是与两条坐标轴的距离的积为常数的点的轨迹方程
    通过例题巩固定义。
    五.练习
    1.教科书P37 练习1、2
    六.小结
    1、曲线与方程的关系
    2、如何证明、判断曲线为方程的曲线,方程为曲线的方程
    3、曲线上的点所组成的集合与方程的解所组成的集合有什么关系?
    五、作业
    教科书习题2.1 A组1、2
    练习与测试:
    1.如果曲线C上的点满足方程F(x,y)=0,则以下说法正确的是( )
    A.曲线C的方程是F(x,y)=0
    B.方程F(x,y)=0的曲线是C
    C.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上
    D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在曲线C上
    2.判断下列结论的正误,并说明理由.
    (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=0;
    (2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2;
    (3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1;
    (4)△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x=0
    3.方程(3x-4y-12)·[log2(x+2y)-3]=0的曲线经过点A(0,-3)、B(0,4)、C()、D(4,0)中的( )
    A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
    4.已知点A(-3,0),B(0,),C(4,-),D(3secθ, tanθ),其中在曲线上的点的个数为( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    5.证明动点P(x,y)到定点M(-a,0)的距离等于a(a>0)的轨迹方程是
    6.如果两条曲线的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0,它们的交点M(x0,y0),求证:方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲线也经过M点.(λ为任意常数)
    练习与测试解答:
    1.分析:判定曲线和方程的对应关系,必须注意两点:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线的方程,方程和曲线
    解:由已知条件,只能说具备纯粹性,但不一定具备完备性.故选D
    2.分析:判断所给问题的正误,主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义,即考查曲线上的点的纯粹性和完备性.
    解:(1)满足曲线方程的定义.∴结论正确
    (2)因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个;y=2,即不具备完备性.
    ∴结论错误.
    (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|=1,即xy=±1.
    ∴所给问题不具备完备性
    ∴结论错误
    (4)中线AD是一条线段,而不是直线,
    ∴x=0(-3≤y≤0),
    ∴所给问题不具备纯粹性.
    ∴结论错误.
    3.分析:方程表示的两条直线3x-4y-12=0和x+2y-9=0,但应注意对数的真数大于0,
    ∴x+2y>0
    解:由对数的真数大于0,得x+2y>0.
    ∴A(0,-3)、C()不合要求
    将B(0,4)代入方程检验,不合要求.
    将D(4,0)代入方程检验,合乎要求.
    故选B.
    4.分析:由曲线上的点与方程的解的关系,只要把点的坐标代入方程,若满足这个方程,说明这是这个方程的解,这个点就在该方程表示的曲线上.
    解:将点A(-3,0)、B(0,)、C(4,-)、D(3secθ, tanθ)代入方程检验,只有点A和点B满足方程.
    故选B.
    5.仿照课本例子,分两种情况易证
    6.分析:只要将M点的坐标代入方程.
    F1(x,y)+λF2(x,y)=0,看点M的坐标是否满足方程即可
    证明:∵M(x0,y0)是曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点,
    ∴F1(x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.
    ∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R)
    ∴M(x0,y0)在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲线上.
    评述:方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也称为过曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点的曲线系方程
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