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课时提升作业(二十四)
用二分法求方程的近似解
(15分钟　30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是　(　　)
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
【解题指南】观察图象,与x轴交点的两侧符号相同时不能用二分法求零点.
【解析】选C.观察图象可知:点x3的附近两旁的函数值都为负值,所以点x3不能用二分法求,故选C.
2.下列函数不能用二分法求零点的是　(　　)
A.f(x)=3x-2 B.f(x)=log2x+2x-9
C.f(x)=(2x-3)2 D.f(x)=3x-3
【解析】选C.因为f(x)=(2x-3)2≥0,所以不能用二分法求零点.
【补偿训练】下列函数零点不能用二分法求解的是　(　　)
A.f(x)=x3 B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=-x2+2x+2
【解析】选C.对于C,f(x)=(x+1)2≥0,不能用二分法.
3.(2015·本溪高一检测)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为　(　　)
A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4
【解析】选B.因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,
所以零点在区间(0.68,0.72),|0.72-0.68|=0.04<0.1,零点在区间[0.68,0.72]内,故只有B选项符合要求.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2015·四平高一检测)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.57 50)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈-0.029
f(1.550 0)≈-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为　　　　　.
【解析】注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)·f(1.5625)<0,且=0.0063<0.01,
故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.5625或1.5562.
答案:1.5625(或1.5562)
【补偿训练】在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,
f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为
　　　(精确度0.1).
【解析】因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,
所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解.
答案:0.75(或0.6875)
5.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0且a≠1).当2【解析】因为函数f(x)=logax+x-b(2在(0,+∞)上是增函数,
f(2)=loga2+2-bf(3)=loga3+3-b>logaa+3-b=4-b>0,
所以x0∈(2,3)即n=2.
答案:2
三、解答题
6.(10分)(2015·南京高一检测)在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10km的线路,电线杆的间距为100m.如何迅速查出故障所在呢?
【解题指南】利用二分法,将线路不断一分为二,最终缩小到100m之内,即可查出故障所在.
【解析】如图所示,首先从AB线路的中点C开始检查,当用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,判定故障在BC;再到BC段中点D检查,这次发现BD段正常,可见故障出在CD段;再到CD段中点E来检查……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半.要把故障可能发生的范围缩小到100m之内,查7次就可以了.
(15分钟　30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·银川高一检测)在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是　(　　)
A.[1,4] B.[-2,1]
C.[-2,2.5] D.[-0.5,1]
【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2,4],
所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4],
第三次所取的区间可能是[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有选项D在其中.
2.(2015·东营高一检测)已知函数f(x)的一个零点x0∈(2,3),在用二分法求精确度为0.01的x0的一个值时,判断各区间中点的函数值的符号最少要　(　　)
A.5次 B.6次 C.7次 D.8次
【解析】选C.区间长度为1,每次长度缩小一半,注意到>0.01,>0.01,<0.01,因此判断各区间中点的函数值符号最少7次.
【延伸探究】若将函数y=f(x)的零点所在的区间改为在[0,1]内,欲使零点的近似值的精确度达到0.01,则用二分法取中点的次数的最小值为　(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选B.因为=0.015625,=0.0078125,所以至少要取7次中点,区间的长度才能达到精确度要求.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知f(x)图象是一条连续的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用“二分法”求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足(a,b)⊇(a1,b1)⊇(a2,b2)⊇…⊇ (ak,bk),若f(a)<0,f(b)>0,则f(ak)的符号为　　　　.(填“正”,“负”,“正、负、零均可能”)
【解题指南】本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题,直接根据二分法的定义即可得到结论.
【解析】因为f(a)<0,f(b)>0,
要想一步步进行下去,直到求出零点,
按二分法的的定义可知,f(ak)<0.
如果f(ak)为0的话,零点就是ak,应该是左闭区间;
如果f(ak)为正的话,零点应该在(ak,bk)的前面那个区间内.
答案:负
4.(2015·滁州高一检测)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162
f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为　　　　.
【解析】因为=0.0625<0.1,所以在区间内的任何一个值都可以作为x3+x2-2x-2=0的一个近似解,故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解可取为1.4375或1.375.
答案:1.4375(或1.375)
【补偿训练】下面是连续函数f(x)在上一些点的函数值:
x
1
1.25
1.375
1.406 5
1.438
1.5
1.625
1.75
1.875 2
f(x)
-2
-0.984
-0.260
-0.052
0.165
0.625
1.982
2.645
4.356
由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为　　　.(精确度0.1)
【解析】由题中表格对应的数值可得函数零点必在区间(1.4065,1.438)上,由精确度可知近似解可取为1.438或1.4065.
答案:1.438(或1.4065)
三、解答题
5.(10分)(2015·株洲高一检测)已知函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).
【解题指南】由函数在(-1,+∞)上单调递增,故在(0,+∞)上也单调递增,可先判断出f(x)=0的正根最多有一个,然后选用二分法逐次计算求解.
【解析】由于函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增,
因此f(x)=0的正根最多有一个.
因为f(0)=-1<0,f(1)=>0,
所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
区间
中点值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
-0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
-0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
-0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)
因为=0.0078125<0.01,所以方程的根的近似值为0.2734375,即f(x)=0的正根约为0.2734375.
【补偿训练】利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解.(精确度0.1)
【解析】设f=lgx+x-3,在同一坐标系中,作出y=lgx和y=3-x的图象,如图所示,观察图象可以发现lgx=3-x有唯一解x1,且x1∈,f<0,利用二分法,可列下表:
区间
中点值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
-0.102 059 991
(2.5,3)
2.75
0.189 332 694
(2.5,2.75)
2.625
0.044 129 308
(2.5,2.625)
2.562 5
-0.028 836 126
(2.562 5,2.625)
由于|2.625-2.5625|=0.0625<0.1,
所以原方程的近似解可取2.5625.
【拓展延伸】数形结合思想在求方程近似解中的妙用
(1)求解形如f(x)=g(x)的根时,通过在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,观察交点位置,可以得到方程的近似解所在的区间.
(2)可以利用函数的单调性等,分析函数图象交点的个数,从而指导我们利用计算器列函数对应值表时,有针对性地对变量取值.
(3)借助方程求交点,利用图象求近似解是数形结合思想的重要体现.
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