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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0 B．b>a
C．a【解析】 由a，但>不能推出a∴a的一个充分不必要条件．
【答案】 C
2．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．间接证法
【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A.
【答案】 A
3．(2016·汕头高二检测)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】 要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】 D
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
【解析】 由余弦定理得
cos A＝<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2【答案】 C
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
【解析】 由题意知⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2
⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0
⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·烟台高二检测)设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．
【解析】 ∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.
【答案】 A≥B
7．(2016·西安高二检测)如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________.
【导学号：19220024】
【解析】 要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.
【答案】 a>b>0
8．如图225，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
图225
【解析】 要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】 AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】 法一：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，
由此命题得证．
法二：综合法
a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】 要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2absin C，
即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1．已知a，b，c，d为正实数，且<，则( )
A.<<
B.<<
C.<<
D．以上均可能
【解析】 先取特殊值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B，C不正确．
要证<，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<.而<成立，
∴<.同理可证<.故A正确，D不正确．
【答案】 A
2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋>(a>0，b>0)
C.－<－(a≥3)
D.＋>2
【解析】 对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；
对于C，要证－<－(a≥3)成立，只需证明＋<＋，两边平方得2a－3＋2<2a－3＋2，即<，两边平方得a2－3a对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)<0，∴＋<2，故D错误．
【答案】 D
3．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________.
【导学号：19220025】
【解析】 由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】 12
4．(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0【证明】 要证明logx＋logx＋logx只需要证明logx而已知0abc.
∵a，b，c是不全相等的正数，
∴≥>0，≥>0，≥>0，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0 B．b>a
C．a
【答案】 C
2．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．间接证法
【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A.
【答案】 A
3．(2016·汕头高二检测)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】 要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】 D
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2
【解析】 由余弦定理得
cos A＝<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
【解析】 由题意知
⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0
⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·烟台高二检测)设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．
【解析】 ∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.
【答案】 A≥B
7．(2016·西安高二检测)如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________.
【导学号：19220024】
【解析】 要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.
【答案】 a>b>0
8．如图225，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
图225
【解析】 要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】 AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】 法一：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，
由此命题得证．
法二：综合法
a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】 要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2absin C，
即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1．已知a，b，c，d为正实数，且<，则( )
A.<<
B.<<
C.<<
D．以上均可能
【解析】 先取特殊值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B，C不正确．
要证<，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)
∴<.同理可证<.故A正确，D不正确．
【答案】 A
2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋>(a>0，b>0)
C.－<－(a≥3)
D.＋>2
【解析】 对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；
对于C，要证－<－(a≥3)成立，只需证明＋<＋，两边平方得2a－3＋2<2a－3＋2，即<，两边平方得a2－3a
【答案】 D
3．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________.
【导学号：19220025】
【解析】 由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】 12
4．(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0
∵a，b，c是不全相等的正数，
∴≥>0，≥>0，≥>0，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx
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