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课后提升作业三十
空间两点间的距离公式
(45分钟　70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.若A(1，3，-2)，B(-2，3，2)，则A，B两点间的距离为　(　　)
A.　　　　        B.25　　　　        C.5　　　　        D.
【解析】选C.|AB|==5.
2.已知点A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于　(　　)
A.                    B.                    C.                D.
【解析】选B.AB的中点M，它到点C的距离
|CM|==.
3.(2016·绵阳高一检测)正方体不在同一表面上的两顶点A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的体积为　(　　)
A.64                    B.8                    C.32                D.128
【解析】选A.设正方体棱长为a，
则a=，
所以a=4，所以V=a3=64.
4.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于　(　　)
A.                B.                C.2                D.
【解析】选B.因为点B坐标为(0，2，3)，所以|OB|==.
5.已知△ABC顶点坐标分别为A(-1，2，3)，B(2，-2，3)，C，则△ABC的形状为　(　　)
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.因为|AB|=5，|BC|=，|AC|=，
所以|AB|2=|BC|2+|AC|2，所以△ABC为直角三角形.
6.已知点A(1，-3，2)，B(-1，0，3)，在z轴上求一点M，使得|AM|=|MB|，则M的竖坐标为　(　　)
A.-1                B.-2                C.-3                D.-4
【解析】选B.设M(0，0，z)，
则=，.Com]
解得z=-2.
7.(2016·广州高一检测)设点P(a，b，c)关于原点的对称点为P′，则|PP′|=
　(　　)
A.                    B.2
C.|a+b+c|                            D.2|a+b+c|
【解析】选B.P(a，b，c)关于原点的对称点P′(-a，-b，-c)，
则|PP′|==2，故选B.
8.在空间直角坐标系中，以A(4， 1，9)，B(10，-1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为　(　　)
A.-2                B.2                C.6                D.2或6
【解析】选D.因为以A，B，C为顶点的△ABC是以BC为底的等腰三角形.所以|AB|=|AC|，
所以
=，
所以7=，所以x=2或x=6.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知点A(3，0，1)和点B(1，0，-3)，且M为y轴上一点.若△MAB为等边三角形，则M点坐标为________.
【解析】设点M的坐标为(0，y，0).
因为△MAB为等边三角形，
所以|MA|=|MB|=|AB|.
因为|MA|=|MB|==，
|AB|==，
所以=，
解得y=±，
故M点坐标为(0，，0)或(0，-，0).
答案：(0，±，0)
10.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点间距离的最小值是________.
【解题指南】先利用两点间距离公式用t表示出A，B两点之间的距离，然后借助二次函数知识求|AB|的最小值.
【解析】|AB|=
=
==.
当t=时，|AB|最小=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.点P在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，点P到点M(2a，2a+5，a+2)的距离最小，求点P的坐标.
【解析】由已知可设点P(a，3a+6，0)，则
|PM|=
=
=，
所以当a=-1时，|PM|取最小值，
所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，
取点P(-1，3，0)时，
点P到点M的距离最小.
【延伸探究】若把题干中“M(2a，2a+5，a+2)”改为“M(2，5，2)”，则结论如何？
【解析】由已知可设点P(a，3a+6，0)，则
|PM|=
=
=，
所以当a=-时，
|PM|取最小值，
所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，
取点P时，
点P到点M的距离最小.
12.如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长.

【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由题意得，B(a，a，0)，D′(0，0，a)，

所以P.
又C(0，a，0)，B′(a，a，a)，
所以Q.
所以|PQ|==.
【能力挑战题】
在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，若|PA|=|PB|=|PC|=a，求点P到平面ABC的距离.
【解题指南】以P为原点建立空间直角坐标系，求出等边三角形ABC的垂心H的坐标，然后利用两点间距离公式求解即可.
【解析】根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，
.Com]
则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a).
过P作PH⊥平面ABC，
交平面ABC于H，
则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
因为|PA|=|PB|=|PC|，
所以H为△ABC的外心.
又因为△ABC为正三角形，
所以H为△ABC的重心，
可得H点的坐标为，，，
所以|PH|==a，
所以点P到平面ABC的距离为a.
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