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高中同步创优单元测评
B 卷 数 学
班级：________　姓名：________　得分：________
创优单元测评
(第一章)
名校好题·能力卷]
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C.∩ D.∪
2．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知f(x)＝则f(－1)＋f(4)的值为(　　)
A．－7 B．3 C．－8 D．4
4．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－1或0
5．函数f(x)＝，满足f(f(x))＝x，则常数c等于(　　)
A．3 B．－3
C．3或－3 D．5或－3
6．若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是(　　)
A．f>f(a2－a＋1) B．fC．f≥f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1)
7．函数y＝x|x|，x∈R，满足(　　)
A．既是奇函数又是减函数 B．既是偶函数又是增函数
C．既是奇函数又是增函数 D．既是偶函数又是减函数
8．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为(　　)
A．{x|x>3或－3C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－39．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值是(　　)
A．最大值为3，最小值为－1
B．最大值为7－2，无最小值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
10．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)C．f(－2)11．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如下图：
则F(x)＝f(x)·g(x)的图象可能是下图中的(　　)
12．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数．若x1<0，且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________．
14．若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．
15．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，(x，y∈R)，则下列各式恒成立的是________．
①f(0)＝0；②f(3)＝3f(1)；③f＝f(1)；④f(－x)·f(x)<0.
16．若函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
设集合A为方程－x2－2x＋8＝0的解集，集合B为不等式ax－1≤0的解集．
(1)当a＝1时，求A∩B；
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．
18．(本小题满分12分)
设全集为R，A＝{x|3(1)求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B；
(2)C＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A∩C＝A，求a的取值范围．
19．(本小题满分12分)
函数f(x)＝，x∈3,5]．
(1)判断单调性并证明；
(2)求最大值和最小值．
20．(本小题满分12分)
已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－a在区间0,1]上有最大值2，求实数a的值．
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)的值满足f(x)>0(当x≠0时)，对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)·f(y)，且f(－1)＝1，f(27)＝9，当0(1)求f(1)的值，判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明；
(3)若a≥0且f(a＋1)≤，求a的取值范围．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在2，＋∞)上的单调性．
详解答案
创优单元测评
(第一章)
名校好题·能力卷]
1．D　解析：由题意知，
解得故选D.
2．D　解析：∵集合M中的元素－1不能映射到N中为－2，
∴即
∴a，b为方程x2－4x＋2＝0的两根，∴a＋b＝4.
3．B　解析：f(4)＝2×4－1＝7，f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f(－1)＋f(4)＝3，故选B.
4．D　解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A，
∴B＝∅或B＝{－1}或B＝{1}．则m＝0或－1或1.
解题技巧：涉及到B⊆A的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．
5．B　解析：f(f(x))＝＝x，f(x)＝＝，得c＝－3.
6．C　解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a2－a＋1＝2＋≥>0，∴f(a2－a＋1)≤f.
解题技巧：根据函数的单调性，比较两个函数值的大小，转化为相应的两个自变量的大小比较．
7．C　解析：由f(－x)＝－f(x)可知，y＝x|x|为奇函数．当x>0时，y＝x2为增函数，而奇函数在对称区间上单调性相同．
8．C　解析：由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1即为f(x)3，当x<0时，f(x)＜1即f(x)9．B　解析：作出F(x)的图象，如图实线部分，则函数有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.
10．A　解析：若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)∵3>2>1，∴f(3)又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，
∴f(3)11．A　解析：由图象知y＝f(x)与y＝g(x)均为奇函数，∴F(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故D不正确．
在x＝0的左侧附近，∵f(x)>0，g(x)<0，∴F(x)<0，
在x＝0的右侧附近，∵f(x)<0，g(x)>0，∴F(x)<0.故选A.
12．C　解析：∵x1<0且x1＋x2>0，∴－x2又f(x)在(－∞，0)上为减函数，
∴f(－x2)>f(x1)．
而f(x)又是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．
∴f(x1)13．{－3,2}　解析：∵2∈M，∴3x2＋3x－4＝2或x2＋x－4＝2，解得x＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3,2符合元素的互异性，故集合为{－3,2}．
14．(－∞，0]　解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝kx2－(k－1)x＋2＝kx2＋(k－1)x＋2＝f(x)．
∴k＝1.
∴f(x)＝x2＋2，其递减区间为(－∞，0]．
15．①②③　解析：令x＝y＝0得，f(0)＝0；
令x＝2，y＝1得，f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)；
令x＝y＝得，f(1)＝2f，∴f＝f(1)；
令y＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x)．即f(－x)＝－f(x)，
∴f(－x)·f(x)＝－f(x)]2≤0.
16.　解析：函数f(x)的对称轴为x＝＝a－，
∵函数在(1,2)上单调，
∴a－≥2或a－≤1，
即a≥或a≤.
解题技巧：注意分单调递增与单调递减两种情况讨论．
17．解：(1)由－x2－2x＋8＝0，解得A＝{－4,2}．
当a＝1时，B＝(－∞，1]．
∴A∩B＝.
(2)∵A⊆B，　　
∴
∴－≤a≤，
即实数a的取值范围是.
18．解：(1)∁R(A∪B)＝{x|x≤3或x≥10}，
(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)由题意知，∵A⊆C，∴解得3≤a≤7，
即a的取值范围是3,7]．
19．解：(1)f(x)在3,5]上为增函数．证明如下：
任取x1，x2∈3,5]且x1∵ f(x)＝＝＝2－，
∴ f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝，
∵ 3≤x1∴ x1－x2<0，(x2＋1)(x1＋1)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴ f(x)在3,5]上为增函数．
(2)根据f(x)在3,5]上单调递增知，
f(x)]最大值＝f(5)＝，
f(x)]最小值＝f(3)＝.
解题技巧：(1)若函数在闭区间a，b]上是增函数，则f(x)在a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数在闭区间a，b]上是减函数，则f(x)在a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
20．解：由f(x)＝－(x－a)2＋a2－a，得函数f(x)的对称轴为x＝a.
①当a<0时，f(x)在0,1]上单调递减，∴f(0)＝2，
即－a＝2，∴a＝－2.
②当a>1时，f(x)在0,1]上单调递增，∴f(1)＝2，
即a＝3.
③当0≤a≤1时，f(x)在0，a]上单调递增，在a,1]上单调递减，
∴f(a)＝2，即a2－a＝2，解得a＝2或－1与0≤a≤1矛盾．
综上，a＝－2或a＝3.
21．解：(1)令x＝y＝－1，f(1)＝1.
f(x)为偶函数．证明如下：
令y＝－1，则f(－x)＝f(x)·f(－1)，∵f(－1)＝1，
∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
(2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
设0Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x2)－ff(x2)＝f(x2).
∵00，∴Δy>0，
∴f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)∵f(27)＝9，
又f(3×9)＝f(3)×f(9)＝f(3)·f(3)·f(3)＝f(3)]3，
∴9＝f(3)]3，∴f(3)＝，
∵f(a＋1)≤，∴f(a＋1)≤f(3)，
∵a≥0，∴a＋1≤3，即a≤2，
综上知，a的取值范围是0,2]．
22．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，而f(－1)＋f(1)＝2≠0，
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴ 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.
任取x1，x2∈2，＋∞)，且x1由于x1≥2，x2≥2，且x1，
f(x1)解题技巧：本题主要考查函数奇偶性的判断和函数单调性的判断．本题中由于函数解析式中含有参数，所以在判断函数奇偶性时需要根据参数的不同取值进行分类讨论；第(2)问中则需要根据f(1)＝2先确定参数的值，再根据函数单调性的定义判断函数的单调性．